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Nous dirons qu’une fonction bornée ou non est mesurable si, quels que soient $\alpha$ et $\beta$, l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]}$ est mesurable. Lorsqu’il en est ainsi, l’ensemble ${\mathrm {E} [f(x)=\alpha ]}$ est aussi mesurable, car il est la partie commune aux ensembles ${\mathrm {E} [\alpha -h<f(x)<\alpha +h]}$ quand $h$ tend vers zéro. On verrait aussi que, pour qu’une fonction soit mesurable, il faut et il suffit que l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)]}$ soit mesurable, quel que soit $\alpha$.

La somme de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable. Soient les deux fonctions mesurables $f_{1}$ et $f_{2}$ ; à tout nombre $\varepsilon$ faisons correspondre une division de leur intervalle de variation, fini ou non, à l’aide de nombres $l_{i}$, tels que ${l_{i+1}-l_{i}}$ soit au plus égale à $\varepsilon$, et considérons les ensembles $\mathrm {E} _{ij}$ de valeurs de $x$, tels que l’on ait à la fois

$l_{i}<f_{1}(x)$,$l_{j}<f_{2}(x)$($l_{i}+l_{j}>\alpha$).

La somme ${\mathrm {E} (\varepsilon )}$ des ensembles $\mathrm {E} _{ij}$ est mesurable, puisque chacun d’eux l’est ; et si l’on donne à $\varepsilon$ des valeurs $\varepsilon _{i}$ tendant vers zéro, on a

$\mathrm {E} [\alpha <f_{1}+f_{2}]=\mathrm {E} (\varepsilon _{1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{2})+\ldots$,

donc ${f_{1}+f_{2}}$ est une fonction mesurable.

On démontrerait de même que l’on peut effectuer, sur des fonctions mesurables, toutes les opérations dont il a été parlé au sujet des fonctions intégrables (p. 30) sans cesser d’obtenir des fonctions mesurables. Mais il y a plus : la limite d’une suite convergente de fonctions mesurables est une fonction mesurable ; si $f_{n}$ tend vers $f$, l’ensemble ${\mathrm {E} [\alpha \leqq f(x),\alpha <f(x)]}$ est la somme des ensembles $\mathrm {E} _{n}$, $\mathrm {E} _{n}$ étant la partie commune aux ensembles ${\mathrm {E} [f_{n}(x)<\alpha ]},{\mathrm {E} [f_{n+1}(x)<\alpha ]},\ldots$, et tous ces ensembles sont mesurables si les fonctions $f_{n}$ sont mesurables.

Appliquons ces résultats ; les deux fonctions ${f={\text{const.}}}$, ${f=x}$ sont évidemment mesurables, donc tout polynôme est mesurable. Toute fonction limite de polynômes est aussi mesurable : donc, d’après un théorème de Weierstrass, toute fonction continue est mesurable. Les fonctions discontinues limites de fonctions continues, que M. Baire appelle fonctions de première classe, sont mesurables. Les fonctions qui ne sont pas de première classe et qui sont limites de fonctions de première classe (M. Baire les