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un tel nombre, écrivons-le

$x=y+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{4}}{10^{4}}}+{\frac {a_{6}}{10^{6}}}+\ldots =y+z$

$y$ est rationnel, l’ensemble des nombres $y$ est dénombrable. À chaque nombre rationnel $y$ correspond un ensemble de nombres $x$ ayant même mesure que l’ensemble des nombres $z$ dont les chiffres de rang impair sont nuls. Pour démontrer que $\mathrm {E}$ est mesurable et de mesure nulle, il suffit donc de démontrer que l’ensemble des nombres $z$ jouit de cette propriété. Or cet ensemble s’obtient en enlevant de (0, 1) l’intervalle $\left({\frac {1}{10}},1\right)$, puis de $\left(0,{\frac {1}{10}}\right)$ les intervalles $\left({\frac {p}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}},{\frac {p+1}{10^{2}}}\right)$, où $p$ est un entier inférieur à 10, puis de chaque intervalle restant $\left({\frac {p}{10^{2}}},{\frac {p}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}\right)$ les intervalles $\left({\frac {p}{10^{2}}}+{\frac {q}{10^{4}}}+{\frac {1}{10^{5}}},{\frac {p}{10^{2}}}+{\frac {q+1}{10^{4}}}\right)$, et ainsi de suite. À chaque opération nous enlevons les 9/10 des intervalles qui restent. L’ensemble des $z$ est donc mesurable B et de mesure nulle.

III. — Les fonctions mesurables.

Pour que les considérations précédentes nous permettent d’attacher une intégrale à une fonction $f(x)$, il faut que, si petit que soit $\varepsilon$, nous puissions trouver les nombres $l_{i}$ (p. 101) tels que, ou les fonctions $\psi _{i}$ correspondantes, ou les $\Psi _{i}$, soient associées à des ensembles mesurables. Supposons que les ensembles correspondant aux $\psi _{i}$ soient mesurables, et soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres quelconques. À un nombre $\varepsilon$ correspond un certain système de nombres $l_{i}$ ; soient $l_{p}$ le plus petit de ceux qui sont compris entre $\alpha$ et $\beta$ et $l_{p+q}$ le plus grand. L’ensemble

$\mathrm {E} (\psi _{p}=1)+\mathrm {E} (\psi _{p+1}=1)+\ldots +\mathrm {E} (\psi _{p+q}=1)=\mathrm {E} (\varepsilon )$

est mesurable ; or quand on donne à $\varepsilon$ une suite de valeurs décroissantes tendant vers zéro $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$, on a

$\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]=\mathrm {E} (\varepsilon _{1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{2})+\ldots$,

donc ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]}$ est mesurable.