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opérations I et II un nombre fini de fois à partir d’intervalles nous obtenons des ensembles mesurables ; ce sont ceux-là que M. Borel avait nommés ensembles mesurables, appelons-les ensembles mesurables B. Ce sont les plus importants des ensembles mesurables ; tandis que, pour un ensemble quelconque, nous pouvons seulement affirmer l’existence des deux nombres $m_{e}$, $m_{i}$, sans pouvoir dire quelle suite d’opérations il faut effectuer pour les calculer, il est facile d’avoir la mesure d’un ensemble mesurable B en suivant pas à pas la construction de cet ensemble. On se servira de la propriété 2′ toutes les fois qu’on utilisera l’opération I ; quand on se servira de l’opération II, on emploiera un théorème dont la démonstration est immédiate :

La mesure de la partie commune à des ensembles $\mathrm {E} _{1},\mathrm {E} _{2},\ldots$ est la limite de $m(\mathrm {E} _{i})$ si chaque ensemble $\mathrm {E} _{i}$ contient tous ceux d’indice plus grand^[1].

Les ensembles fermés sont mesurables B parce qu’ils sont les complémentaires d’ensembles formés des points intérieurs à un nombre fini ou à une infinité dénombrable d’intervalles. Soit $\mathrm {E}$ un tel ensemble, la mesure de son complémentaire est évidemment l’étendue intérieure de ce complémentaire, donc la mesure d’un ensemble fermé est son étendue extérieure. De là découle la propriété qui nous a servi : un ensemble fermé de mesure nulle est un groupe intégrable (p. 29).

Comme application de ces considérations théoriques, calculons la mesure de l’ensemble $\mathrm {E} _{1}$ des points de (0, 1) tels que la suite de leurs chiffres décimaux de rang impair soit périodique (p. 92). Soit

$x={\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3}}}+\ldots$

1. L’ensemble des ensembles mesurables B a la puissance du continu, il existe donc d’autres ensembles mesurables que les ensembles mesurables B ; mais cela ne veut pas dire qu’il soit possible de définir un ensemble non mesurable B, c’est-à-dire de prononcer un nombre fini de mots caractérisant un et un seul ensemble non mesurable B. Nous ne rencontrerons jamais que des ensembles mesurables B.

   M. Borel avait indiqué (note 1, p. 48 des Leçons sur la théorie des fonctions) les principes qui nous ont guidés dans la théorie de la mesure.