ensembles mesurables J, mais il est beaucoup plus vaste, comme on va le voir. On peut, en effet, sans sortir de l’ensemble des ensembles mesurables, effectuer sur des ensembles mesurables les deux opérations suivantes :
I. Faire la somme d’une infinité dénombrable d’ensembles ;
II. Prendre la partie commune à tous les ensembles d’une famille contenant un nombre fini ou une infinité dénombrable d’ensembles.
Pour le démontrer, remarquons d’abord que la seconde opération ne diffère pas essentiellement de la première, car si 
est la partie commune à 
, 
est la somme de 
. Il suffit donc de s’occuper de la première ; soit
.
Si 
est l’ensemble des points de 
ne faisant pas partie de 
, on a
,
les termes de la somme étant sans point commun deux à deux. Or, il est facile de voir que 
est mesurable ; en effet, enfermons 
dans les intervalles 
, 
dans les intervalles 
, 
dans 
, 
dans 
et soient 
et 
les longueurs des parties communes aux et d’une part, aux et d’autre part. Si 
et 
sont les parties des et communes aux , peut être enfermé dans et 
dans 
et les parties communes à ces deux systèmes d’intervalles ont une mesure au plus égale à 
, donc est mesurable. De là résulte que
,
est mesurable, donc que 
, partie de 
n’appartenant pas à l’ensemble mesurable 
, est mesurable et ainsi de suite. Tous les sont mesurables, l’est[1].
Un intervalle étant un ensemble mesurable, en appliquant les
- ↑ Si contient , on peut parler de leur différence
. Cette différence est mesurable si et le sont, car elle est la partie commune à et .
