Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1904.djvu/119

Soient $\mathrm {E} _{1},\mathrm {E} _{2},\ldots$ des ensembles mesurables, en nombre fini ou dénombrable, n’ayant deux à deux aucun point commun, et soit $\mathrm {E}$ l’ensemble somme.

On peut enfermer $\mathrm {E} _{i}$ dans une infinité dénombrable d’intervalles $\alpha _{i}$ et $\mathrm {C_{AB}} (\mathrm {E} _{i})$ dans des intervalles $\beta _{i}$ de manière que la mesure des parties communes aux $\alpha _{i}$ et $\beta _{i}$ soit égale à $\varepsilon _{i}$ ; les $\varepsilon$ étant des nombres positifs choisis de manière que la série ${\textstyle \sum \varepsilon _{i}}$ soit convergente et de somme $\varepsilon$.

Soient $\alpha '_{2}$, $\beta '_{2}$ les parties des $\alpha _{2}$ et $\beta _{2}$ qui sont contenues dans les intervalles $\beta _{1}$, soient $\alpha '_{3}$, $\beta '_{3}$ les parties des $\alpha _{3}$, $\beta _{3}$ qui sont contenues dans les $\beta '_{2}$ et ainsi de suite. $\mathrm {E} _{i}$ est enfermé dans $\alpha '_{i}$. $\mathrm {E}$ est donc enfermé dans ${\alpha _{1}+\alpha '_{2}+\ldots }$, sa mesure extérieure est donc au plus égale à la somme ${m(\alpha _{1})+m(\alpha '_{2})+m(\alpha '_{3})+\ldots =s}$ ; évaluons cette somme. On a évidemment

${\begin{alignedat}{4}&m(\alpha _{1})&{}+{}&m(\beta _{1})&{}={}&m(\mathrm {AB} )&{}+{}&\varepsilon _{1}{\text{,}}\\&m(\alpha '_{i})&{}+{}&m(\beta '_{i})&{}\leqq {}&m(\beta '_{i-1})&{}+{}&\varepsilon _{i}{\text{,}}\\\end{alignedat}}$

et ceci suffit pour montrer que la série $s$ est convergente ; d’ailleurs on a

$m(\mathrm {E_{i}} )\leqq m(\alpha '_{i})\leqq m(\alpha _{i})\leqq m(\mathrm {E_{i}} )+\varepsilon _{i}$,

donc $s$ est comprise entre $\textstyle \sum m(\mathrm {E} _{i})$ et ${\textstyle \sum m(\mathrm {E} _{i})+\varepsilon }$. Cela donne

$m_{e}(\mathrm {E} )\leqq \sum m(\mathrm {E} _{i})$.

Le complémentaire de $\mathrm {E}$, $\mathrm {C_{AB}(E)}$, peut être enfermé dans $\beta '_{i}$ ; or $\beta '_{i}$ a, en commun avec ${\alpha _{1}+\alpha '_{2}+\alpha '_{3}+\ldots }$, les intervalles ${\alpha '_{i+1}+\alpha '_{i+2}+\ldots }$, plus une partie des intervalles communs, à $\alpha _{1}$, $\beta _{i}$, une partie de ceux communs à $\alpha _{2}$, $\beta _{2}$, …, une partie de ceux communs à $\alpha _{i}$, $\beta _{i}$. $\beta '_{i}$ a donc une mesure au plus égale à

$[m(\mathrm {AB} )-s]+\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{i}+m(\alpha '_{i+1})+m(\alpha '_{i+2})+\ldots$,

et, par suite,

$m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]\leqq m(\mathrm {AB} )-\sum m(\mathrm {E} _{i})$,

c’est-à-dire

$m_{i}(\mathrm {E} )\geqq \sum m(\mathrm {E} _{i})$.

L’ensemble $\mathrm {E}$ est donc mesurable et de mesure $\sum m(\mathrm {E} _{i})$, la condition 2′ est bien vérifiée.

L’ensemble des ensembles mesurables contient l’ensemble des