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on peut aussi couvrir ${(a,b)}$ à l’aide d’un nombre fini des intervalles $\Delta$ et le théorème, étant évidemment vrai quand on ne considère que ces intervalles en nombre fini, l’est a fortiori quand on considère tous les intervalles $\Delta$ .

Reprenons maintenant l’ensemble $\mathrm {E}$ et son complémentaire $\mathrm {C_{AB}(E)}$ . Enfermons le premier dans une infinité dénombrable d’intervalles $\alpha$ , le second dans les intervalles $\alpha$ , on a

m(\alpha )+m(\beta )\geqq m(\mathrm {AB} )

,

puisque $\mathrm {AB}$ est couvert par les intervalles $\alpha$ et $\beta$ . De là, on déduit

{\begin{aligned}&m_{e}(\mathrm {E} )+m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]\geqq m(\mathrm {AB} ){\text{,}}\\&m_{e}(\mathrm {E} )\geqq m(\mathrm {AB} )-m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]{\text{,}}\\&m_{e}(\mathrm {E} )\geqq m_{i}(\mathrm {E} ){\text{.}}\end{aligned}}

La mesure intérieure n’est jamais supérieure à la mesure extérieure.

Les ensembles dont les deux mesures extérieure et intérieure sont égales sont dits mesurables et leur mesure est la valeur commune des $m_{e}$ et $m_{i}$ ^[1]. Il reste à rechercher si cette mesure satisfait bien aux conditions 1′, 2′, 3′. Cela est évident pour 1′ et 3′, reste à étudier la condition 2′^[2].

↑ C’est seulement pour ces ensembles que nous étudierons le problème de la mesure. Je ne sais pas si l’on peut définir, ni même s’il existe d’autres ensembles que les ensembles mesurables ; s’il en existe, ce qui est dit dans le texte ne suffit pas pour affirmer ni que le problème de la mesure est possible, ni qu’il est impossible pour ces ensembles.

↑ La définition géométrique de la mesure permet non seulement de comparer deux ensembles égaux, mais aussi deux ensembles semblables. Le rapport des mesures de deux ensembles semblables de rapport

k

est

|k|

. C’est une condition qu’on aurait pu s’imposer a priori ; il lui correspond pour le problème d’intégration la condition S₁

(S₁)

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=k\int _{\frac {a}{k}}^{\frac {b}{k}}f(kx)\,\mathrm {d} x

.

Les conditions S (p. 100) et S₁ constituent ce qu’on peut appeler la condition de similitude, elles font connaître ce que devient une intégrale par les transformations

x_{1}=kx

,

f_{1}(x)=kf(x)

.

Peut-être pourrait-on remplacer la condition 6 par des conditions de cette nature.

[1] C’est seulement pour ces ensembles que nous étudierons le problème de la mesure. Je ne sais pas si l’on peut définir, ni même s’il existe d’autres ensembles que les ensembles mesurables ; s’il en existe, ce qui est dit dans le texte ne suffit pas pour affirmer ni que le problème de la mesure est possible, ni qu’il est impossible pour ces ensembles.

[2] La définition géométrique de la mesure permet non seulement de comparer deux ensembles égaux, mais aussi deux ensembles semblables. Le rapport des mesures de deux ensembles semblables de rapport $k$ est $|k|$ . C’est une condition qu’on aurait pu s’imposer a priori ; il lui correspond pour le problème d’intégration la condition S₁

(S₁) $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=k\int _{\frac {a}{k}}^{\frac {b}{k}}f(kx)\,\mathrm {d} x$ .

Les conditions S (p. 100) et S₁ constituent ce qu’on peut appeler la condition de similitude, elles font connaître ce que devient une intégrale par les transformations

$x_{1}=kx$ , $f_{1}(x)=kf(x)$ .

Peut-être pourrait-on remplacer la condition 6 par des conditions de cette nature.

[1]

[2]