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des $\Delta$ , il existe une famille formée d’un nombre fini des intervalles $\Delta$ et qui jouit de la même propriété [tout point de ${(a,b)}$ est intérieur à l’un d’eux].

Soit ${(\alpha ,\beta )}$ l’un des intervalles $\Delta$ contenant $a$ , la propriété à démontrer est évidente pour l’intervalle ${(a,x)}$ , si $x$ est compris entre $\alpha$ et $\beta$ ; je veux dire que cet intervalle peut être couvert à l’aide d’un nombre fini d’intervalles $\Delta$ , ce que j’exprime en disant que le point $x$ est atteint. Il faut démontrer que $b$ est atteint. Si $x$ est atteint, tous les points de ${(a,x)}$ le sont ; si $x$ n’est pas atteint, aucun des points de ${(x,b)}$ ne l’est. Il y a donc, si $b$ n’est pas atteint, un premier point non atteint, ou un dernier point atteint ; soit $x_{0}$ ce point. Il est intérieur à un intervalle $\Delta$ , ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ . Soient $x_{1}$ un point de ${(\alpha _{1},x)}$ , $x_{2}$ un point de ${(x,\beta )}$ ; $x_{1}$ est atteint par hypothèse, les intervalles $\Delta$ en nombre fini qui servent à l’atteindre, plus l’intervalle ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ , permettent d’atteindre ${x_{2}>x_{0}}$ ; $x_{0}$ n’est donc ni le dernier point atteint, ni le premier non atteint ; donc $b$ est atteint^[1].

Du théorème de M. Borel il résulte que si l’on a couvert tout un intervalle ${(a,b)}$ à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles $\Delta$ , la somme des longueurs de ces intervalles est au moins égale à la longueur de l’intervalle ${(a,b)}$ ^[2]. En effet,

↑ M. Borel a donné, dans sa Thèse et dans ses Leçons sur la théorie des fonctions, deux démonstrations de ce théorème. Ces démonstrations supposent essentiellement que l’ensemble des intervalles $\Delta$ est dénombrable ; cela suffit dans quelques applications ; il y a cependant intérêt à démontrer le théorème du texte. Par exemple, pour les applications que j’ai faites dans ma Thèse du théorème de M. Borel, il était nécessaire qu’il soit démontré pour un ensemble d’intervalles $\Delta$ ayant la puissance du continu.
On a déduit du théorème, tel qu’il est énoncé dans le texte, une jolie démonstration de l’uniformité de la continuité.

Soit $f(x)$ une fonction continue en tous les points de ${(a,b)}$ , y compris $a$ et $b$ ; chaque point de ${(a,b)}$ est, par définition, intérieur à un intervalle $\Delta$ dans lequel l’oscillation de $f(x)$ est inférieure à $\varepsilon$ . À l’aide d’un nombre fini d’entre eux, on peut couvrir ${(a,b)}$ ; soit $l$ la longueur du plus petit intervalle $\Delta$ employé, dans tout intervalle de longueur $l$ l’oscillation de $f$ est au plus $2\varepsilon$ , car un tel intervalle empiète sur deux intervalles $\Delta$ au plus ; la continuité est uniforme.

Cette application du théorème complété fait bien comprendre, il me semble, tout l’usage qu’on en peut faire dans la théorie des fonctions.
↑ Si, comme je le suppose dans la démonstration, on admet que tout point de ${(a,b)}$ est intérieur à l’un des $\Delta$ , on peut remplacer au moins égale par supérieure.

[1] M. Borel a donné, dans sa Thèse et dans ses Leçons sur la théorie des fonctions, deux démonstrations de ce théorème. Ces démonstrations supposent essentiellement que l’ensemble des intervalles $\Delta$ est dénombrable ; cela suffit dans quelques applications ; il y a cependant intérêt à démontrer le théorème du texte. Par exemple, pour les applications que j’ai faites dans ma Thèse du théorème de M. Borel, il était nécessaire qu’il soit démontré pour un ensemble d’intervalles $\Delta$ ayant la puissance du continu.
On a déduit du théorème, tel qu’il est énoncé dans le texte, une jolie démonstration de l’uniformité de la continuité.

Soit $f(x)$ une fonction continue en tous les points de ${(a,b)}$ , y compris $a$ et $b$ ; chaque point de ${(a,b)}$ est, par définition, intérieur à un intervalle $\Delta$ dans lequel l’oscillation de $f(x)$ est inférieure à $\varepsilon$ . À l’aide d’un nombre fini d’entre eux, on peut couvrir ${(a,b)}$ ; soit $l$ la longueur du plus petit intervalle $\Delta$ employé, dans tout intervalle de longueur $l$ l’oscillation de $f$ est au plus $2\varepsilon$ , car un tel intervalle empiète sur deux intervalles $\Delta$ au plus ; la continuité est uniforme.

Cette application du théorème complété fait bien comprendre, il me semble, tout l’usage qu’on en peut faire dans la théorie des fonctions.

[2] Si, comme je le suppose dans la démonstration, on admet que tout point de ${(a,b)}$ est intérieur à l’un des $\Delta$ , on peut remplacer au moins égale par supérieure.

[1]

[2]