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intervalle positif ${(a,b)}$ a pour mesure sa longueur ${b-a}$, que les extrémités fassent ou non partie de l’intervalle^[1].

Si l’on se reporte au Chapitre III, on voit immédiatement que, si le problème de la mesure est possible, on a

$e_{i}(\mathrm {E} )\leqq m(\mathrm {E} )\leqq e_{e}(\mathrm {E} )$ ;

pour les ensembles mesurables J, le problème de la mesure est possible au plus d’une manière et la mesure est l’étendue au sens de M. Jordan.

Soit maintenant un ensemble quelconque $\mathrm {E}$, nous pouvons enfermer ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles ; la mesure de l’ensemble des points de ces intervalles est, d’après 2′, la somme des longueurs des intervalles ; cette somme est une limite supérieure de la mesure de $\mathrm {E}$. L’ensemble de ces sommes a une limite inférieure $m_{e}(\mathrm {E} )$, la mesure extérieure de $\mathrm {E}$, et l’on a évidemment

$m(\mathrm {E} )\leqq m_{e}(\mathrm {E} )\leqq e_{e}(\mathrm {E} )$.

Soit $\mathrm {C_{AB}(E)}$ le complémentaire de $\mathrm {E}$ par rapport à $\mathrm {AB}$, c’est-à-dire l’ensemble des points ne faisant pas partie de $\mathrm {E}$ et faisant partie d’un segment $\mathrm {AB}$ de $ox$ contenant $\mathrm {E}$. On doit avoir

$m(\mathrm {E} )+m[\mathrm {C_{AB}(E)} ]=m(\mathrm {AB} )$,

donc

$m(\mathrm {E} )=m(\mathrm {AB} )-m[\mathrm {C_{AB}(E)} ]\geqq m(\mathrm {AB} )-m_{e}[\mathrm {C_{AB}(E)} ]$ ;

la limite inférieure ainsi trouvée pour $m(\mathrm {E} )$, limite qui est nécessairement positive ou nulle, s’appelle la mesure intérieure de $\mathrm {E}$, $m_{i}(\mathrm {E} )$ ; elle est évidemment supérieure ou au moins égale à l’étendue intérieure de $\mathrm {E}$.

Pour comparer les deux nombres $m_{e}$, $m_{i}$, nous nous servirons d’un théorème dû à M. Borel :

Si l’on a une famille d’intervalles $\Delta$ tels que tout point d’un intervalle ${(a,b)}$, y compris $a$ et $b$, soit intérieur à l’un au moins

mots ou d’une infinité dénombrable dans 2′, on a un nouveau problème de la mesure qui correspond complètement au problème d’intégration posé avec les conditions 1, 2, 3, 4, 5 sans la condition 6.

1. Ceci a été exprimé par l’égalité ${\int _{a}^{b}\mathrm {d} x=b-a}$