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une droite sont dits égaux si, par le déplacement de l’un d’eux, on peut les faire coïncider, qu’un ensemble $\mathrm {E}$ est dit la somme des ensembles $e$ si tout point de $\mathrm {E}$ appartient à l’un au moins des $e$^[1]. Voici la question à résoudre :

Nous nous proposons d’attacher à chaque ensemble $\mathrm {E}$ borné, formé de points de $ox$, un nombre positif ou nul, $m(\mathrm {E} )$, que nous appelons la mesure de $\mathrm {E}$ et qui satisfait aux conditions suivantes :

1′. Deux ensembles égaux ont même mesure ;

2′. L’ensemble somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles, sans point commun deux à deux, a pour mesure la somme des mesures ;

3′. La mesure de l’ensemble de tous les points de (0, 1) est 1.

La condition 3′ remplace la condition 5 ; la condition 2′ provient de l’application des conditions 3 et 6 à la série

$\psi =\psi _{1}+\psi _{2}+\ldots$,

dans laquelle tous les termes et la somme sont des fonctions $\psi$ ; quant à la condition 1′ c’est la condition 1. Une explication est cependant nécessaire ; il y a deux espèces d’ensembles égaux : ceux que l’on peut faire coïncider par un glissement de $ox$ et ceux que l’on peut faire coïncider par une rotation de $\pi$ autour d’un point de $ox$ ; c’est aux premiers seulement que s’applique la condition 1′. Je n’ai pas mis cette restriction dans l’énoncé parce que, dans les raisonnements suivants, on peut s’astreindre à ne pas employer d’autres déplacements que des glissements et cependant on obtiendra toujours pour deux ensembles égaux de l’une ou l’autre manière des mesures égales^[2].

Une conséquence simple des conditions 1′, 2′, 3′ est que tout

1. Avec notre définition, les $e$ peuvent donc avoir des points communs.
2. Toutes les conditions du problème d’intégration pour les fonctions $\psi$ sont exprimées ; mais on pourrait craindre que cela ne suffise pas pour que les intégrales des fonctions quelconques, qui sont déterminées dès que les intégrales des fonctions $\psi$ le sont, satisfassent aussi à ces conditions. Ce qui suit montre que ces craintes ne sont pas justifiées.

   On pourrait le démontrer dès à présent, sans se servir de la valeur de l’intégrale des fonctions, et l’on pourrait aussi démontrer que, si l’on supprime les