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donc l’intégrale de $g(x)$ est inférieure en module à ${\varepsilon \int _{a}^{b}\mathrm {d} x}$, quantité qui tend vers zéro avec $\varepsilon$.

Pour savoir calculer l’intégrale d’une fonction quelconque, il suffit de savoir calculer les intégrales des fonctions $\psi$ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1.

Il faut remarquer que nous avons démontré incidemment la possibilité d’intégrer terme à terme les séries uniformément convergentes, si le problème d’intégration est possible.

La quantité ${\int _{a}^{b}\mathrm {d} x}$ qui figure dans la démonstration précédente se calcule facilement ; en se servant de 1, de 2 et de 5, on voit qu’elle est égale à ${b-a}$.

Si la fonction $f(x)$ est comprise entre $l$ et $\mathrm {L}$, son intégrale dans ${(a,b)}$ est comprise entre ${l(b-a)}$ et ${\mathrm {L} (b-a)}$ ; c’est le théorème de la moyenne.

Si nous appliquons ce théorème après avoir décomposé ${(a,b)}$ en intervalles partiels, nous trouvons que ${\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ est comprise entre les sommes qui servent à définir les intégrales par défaut et par excès ; l’intégrale est donc comprise entre les intégrales par défaut et par excès. En particulier, si le problème d’intégration est possible, pour les fonctions intégrables au sens de Riemann, il n’admet pas d’autre solution que l’intégrale de Riemann.

II. — La mesure des ensembles.

Occupons-nous maintenant des fonctions $\psi$ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1. Une telle fonction est entièrement définie par l’ensemble ${\mathrm {E} [\psi (x)=1]}$ des valeurs où elle est différente de 0 ; l’intégrale d’une telle fonction, dans un intervalle positif, est un nombre positif ou nul qu’on peut considérer comme attaché à la partie de l’ensemble ${\mathrm {E} [\psi (x)=1]}$ comprise dans l’intervalle d’intégration. Si l’on traduit en langage géométrique les conditions du problème d’intégration des fonctions $\psi$, on a un nouveau problème, le problème de la mesure des ensembles.

Pour l’énoncer, je rappelle que deux ensembles de points sur