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lorsque $k$ est une constante. Ceci posé, soit $f(x)$ une fonction quelconque, nous désignerons par ${\mathrm {E} [\alpha <f(x)<\beta ]}$ l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a $\alpha <f(x)<\beta$, et par ${\mathrm {E} [f(x)=\alpha ]}$ l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on a ${f(x)=\alpha }$.

Soit ${(l,\mathrm {L} )}$ l’intervalle de variation de $f(x)$^[1] ; partageons cet intervalle en intervalles partiels à l’aide des nombres

$l_{0}=l<l_{1}<l_{2}<\ldots <l_{n}=\mathrm {L}$,

supposons que ${l_{i+1}-l_{i}}$ ne soit jamais supérieur à $\varepsilon$.

Désignons par $\psi _{i}$ (${i=0,1,2,\ldots ,n}$) la fonction égale à 1 quand $x$ appartient à ${\mathrm {E} [f(x)=l_{i}]}$, ou à ${\mathrm {E} [l_{i}<f(x)<l_{i+1}]}$, et nulle pour les autres points ; désignons par $\Psi _{i}$ (${i=0,1,2,\ldots ,n}$) la fonction égale à 1 quand $x$ appartient à ${\mathrm {E} [l_{i-1}<f(x)<l_{i}]}$, ou à ${\mathrm {E} [f(x)=l_{i}]}$ et nulle pour les autres points. On a évidemment

$\varphi (x)=\sum _{i=0}^{i=n}l_{i}\psi _{i}(x)\leqq f(x)\leqq \sum _{i=0}^{i=n}l_{i}\Psi _{i}(x)=\Phi (x)$.

Lorsque nous saurons intégrer les fonctions $\psi$ qui ne prennent que les valeurs 0 et 1, nous en déduirons, grâce aux conditions 3 et S, les intégrales des $\varphi (x)$ et $\Phi (x)$, lesquelles comprennent l’intégrale de $f(x)$ (conditions 3, 4)^[2].

De plus $\varphi (x)$ et $\Phi (x)$ diffèrent de $f(x)$ de $\varepsilon$ au plus, donc tendent uniformément vers $f(x)$ quand $\varepsilon$ tend vers zéro ; il est facile d’en conclure que leurs intégrales tendent vers celle de $f(x)$.

En effet, si les limites inférieure et supérieure de $g(x)$ sont $l$ et $\mathrm {L}$, d’après 3 et 4, ${\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}$ est comprise entre

$\int _{a}^{b}l\,\mathrm {d} x=l\int _{a}^{b}\mathrm {d} x$et$\int _{a}^{b}\mathrm {L} \,\mathrm {d} x=\mathrm {L} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x$ ;

faisons maintenant

$g(x)=f(x)-\varphi (x)$,

on a

$\varepsilon \geqq \mathrm {L} \geqq l\geqq 0$,

1. En d’autres termes, $l$ et $\mathrm {L}$ sont les limites inférieure et supérieure de $f(x)$.
2. On suppose ici, pour quelques instants, le problème d’intégration possible.