lorsque est une constante. Ceci posé, soit une fonction quelconque, nous désignerons par l’ensemble des valeurs de pour lesquelles on a , et par l’ensemble des valeurs de pour lesquelles on a .
Soit l’intervalle de variation de [1] ; partageons cet intervalle en intervalles partiels à l’aide des nombres
,
supposons que ne soit jamais supérieur à .
Désignons par () la fonction égale à 1 quand appartient à , ou à , et nulle pour les autres points ; désignons par () la fonction égale à 1 quand appartient à , ou à et nulle pour les autres points. On a évidemment
.
Lorsque nous saurons intégrer les fonctions qui ne prennent que les valeurs 0 et 1, nous en déduirons, grâce aux conditions 3 et S, les intégrales des et , lesquelles comprennent l’intégrale de (conditions 3, 4)[2].
De plus et diffèrent de de au plus, donc tendent uniformément vers quand tend vers zéro ; il est facile d’en conclure que leurs intégrales tendent vers celle de .
En effet, si les limites inférieure et supérieure de sont et , d’après 3 et 4, est comprise entre
et
;
faisons maintenant
,
on a
,
- ↑ En d’autres termes, et sont les limites inférieure et supérieure de .
- ↑ On suppose ici, pour quelques instants, le problème d’intégration possible.