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constructive, la définition des fonctions primitives est descriptive.

Lorsque l’on a énoncé une définition constructive, il faut démontrer que les opérations indiquées dans cette définition sont possibles ; une définition descriptive est aussi assujettie à certaines conditions : il faut que les conditions énoncées soient compatibles^[1]. Le procédé jusqu’ici toujours employé pour démontrer que des conditions sont compatibles est le suivant : on choisit dans une classe d’êtres antérieurement définis des êtres jouissant de toutes les propriétés énoncées. Cette classe d’êtres est généralement la classe des nombres entiers^[2] ; on admet que la définition descriptive de ces nombres ne contient pas de contradiction.

Il faut aussi étudier la nature de l’indétermination des êtres que l’on vient de définir. Supposons, par exemple, que l’on ait démontré l’impossibilité de l’existence de deux classes différentes d’êtres satisfaisant aux conditions indiquées, et que, de plus, on ait démontré la compatibilité de ces conditions en choisissant une classe d’êtres y satisfaisant ; cette classe d’êtres sera la seule définie, de sorte que la définition constructive qui a servi à effectuer le choix est exactement équivalente à la définition descriptive donnée.

Nous allons rechercher une définition constructive équivalente à la définition descriptive de l’intégrale^[3].

On démontrera d’abord sans peine en s’appuyant sur les conditions 3 et 4 que l’on a la condition S

(S)

$\int _{a}^{b}k\,f(x)\,\mathrm {d} x=k\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,$

termes d’une science quand on veut construire cette science d’une façon purement logique et abstraite. Voir la Thèse de M. J. Drach (Annales de l’École Normale, 1898) et le Mémoire de M. Hilbert sur les fondements de la Géométrie (Annales de l’École Normale, 1900).

1. C’est-à-dire qu’aucune de leurs conséquences ne soit de la forme : A est non A. Il y a lieu aussi, comme je l’ai déjà dit, de rechercher si les conditions sont indépendantes.
2. Voir le Mémoire déjà cité de M. Hilbert. C’est parce que l’on peut démontrer la compatibilité des conditions énoncées dans les définitions descriptives des premiers termes de la Géométrie à l’aide du système des nombres entiers qu’il est légitime de dire que la Géométrie peut être tout entière construite à partir de l’idée de nombre.
3. En se plaçant au même point de vue, on peut dire que les travaux exposés dans cet Ouvrage ont pour but principal la recherche d’une définition constructive équivalente à la définition descriptive des fonctions primitives.