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4. Si l’on a ${f\geqq 0}$ et ${b>a}$, on a aussi

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\geqq 0$ ;

5. On a

$\int _{0}^{1}1\times \mathrm {d} x=1$ ;

6. Si $f_{n}(x)$ tend en croissant vers $f(x)$, l’intégrale de $f_{n}(x)$ tend vers celle de $f(x)$.

La signification, la nécessité et les conséquences des cinq premières conditions de ce problème d’intégration sont à peu près évidentes ; nous ne nous y étendrons pas.

La condition 6 a une place à part. Elle n’a ni le même caractère de simplicité que les cinq premières ni le même caractère de nécessité^[1]. De plus, tandis qu’il est facile de construire des nombres satisfaisant à quatre quelconques des cinq premières conditions, sans satisfaire à toutes les cinq, ce qui montre que ces cinq conditions sont indépendantes, on ne sait pas si les six conditions du problème d’intégration sont indépendantes ou non^[2].

En énonçant les six conditions du problème d’intégration, nous définissons l’intégrale. Cette définition appartient à la classe de celles que l’on peut appeler descriptives ; dans ces définitions, on énonce des propriétés caractéristiques de l’être que l’on veut définir. Dans les définitions constructives, on énonce quelles opérations il faut faire pour obtenir l’être que l’on veut définir. Ce sont les définitions constructives qui sont le plus souvent employées en Analyse ; cependant on se sert parfois de définitions descriptives^[3] ; la définition de l’intégrale, d’après Riemann, est

1. Elle paraît si peu nécessaire qu’elle est généralement inconnue, même pour le cas où $f$ et $f_{n}$ sont intégrables au sens de Riemann ou mêmes continues. Il se pourrait d’ailleurs que certaines de ses conséquences aient, au contraire, un très grand caractère de nécessité.
2. La réponse à cette question importe peu pour les applications, mais elle présente un intérêt au point de vue des principes. S’il était démontré que cette sixième condition est indépendante des cinq autres, il y aurait lieu de chercher à la remplacer par une sixième plus simple et surtout de rechercher si, parmi les systèmes de nombres qui satisfont seulement aux cinq premières conditions, il n’y en a pas d’aussi utiles que celui qui va être étudié.
3. L’emploi de ces définitions descriptives est indispensable pour les premiers