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CHAPITRE VII.

LES FONCTIONS SOMMABLES.

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I. — Le problème d’intégration.

Les applications classiques de l’intégration des fonctions continues, les applications faites précédemment de l’intégration au sens de Riemann ou au sens de Duhamel et Serret, suffisent pour mettre en évidence le rôle de certaines propriétés simples, conséquences de toutes les définitions de l’intégrale déjà étudiées, et pour convaincre que ces propriétés doivent nécessairement appartenir à l’intégrale, si l’on veut qu’il y ait quelque analogie entre cette intégrale et l’intégrale des fonctions continues.

C’est pourquoi nous nous proposons d’attacher à toute fonction bornée^[1] $f(x)$, définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$, positif, négatif ou nul, un nombre fini, $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$, que nous appelons l’intégrale de $f(x)$ dans ${(a,b)}$ et qui satisfait aux conditions suivantes :

1. Quels que soient $a$, $b$, $h$, on a

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a+h}^{b+h}f(x-h)\,\mathrm {d} x$ ;

2. Quels que soient $a$, $b$, $c$, on a

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$ ;

3.

$\int _{a}^{b}[f(x)+\varphi (x)]\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}\varphi (x)\,\mathrm {d} x$ ;

1. Le mot bornée est nécessaire si l’on veut que l’intégrale soit toujours finie.