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vers une fonction intégrable $f$ , l’intégrale de $f_{n}$ tend vers celle de $f$ ^[1].

Nous devons nous demander maintenant quels services peuvent rendre les intégrales au sens de Duhamel et Serret.

Ces intégrales ne peuvent rendre aucun service dans la recherche des fonctions primitives, puisqu’elles supposent cette recherche effectuée, mais les intégrales au sens de Riemann servent surtout à calculer les limites de somme.

Le raisonnement de la page 78 montre qu’une intégrale D est une limite de somme ; on peut donc espérer se servir de ces intégrales pour le calcul des limites de somme. Nous avons vu, p. 63, que cela était effectivement possible, puisqu’il a été démontré que la longueur d’une courbe était l’intégrale D de ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$ , toutes les fois que cette intégrale existe^[2].

De nouvelles études sur l’intégrale sont cependant nécessaires, car nous n’avons pas encore résolu le problème de la recherche des fonctions primitives ; d’ailleurs, pour le calcul de la longueur d’une courbe ayant des tangentes, l’une et l’autre intégration sont insuffisantes^[3].

↑ On peut remarquer que cette propriété reste vraie s’il s’agit de fonctions intégrables d’après la généralisation indiquée page 94.
↑ Je ne puis que signaler une autre application des intégrales D : lorsqu’une fonction dérivée bornée admet un développement trigonométrique, les coefficients de ce développement sont donnés par les formules connues d’Euler et Fourier, les intégrales qui figurent dans ces formules étant des intégrales D.
J’ajoute qu’il existe effectivement des fonctions dérivées bornées, non intégrables au sens de Riemann, qui admettent un développement trigonométrique. Pour la démonstration de ces propriétés, ou pourra se reporter à un Mémoire Sur les séries trigonométriques que j’ai publié dans les Annales de l’École Normale (novembre 1903).
↑ Il est facile de voir que ${\sqrt {1+\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\right)'}}$ n’est pas une dérivée exacte. On pourra pour le voir, soit développer ce radical en série de Laurent, soit utiliser les résultats qui seront obtenus plus loin. Partant de là, on démontrera sans peine que la quantité ${\sqrt {1+\mathrm {F} '(x)^{2}}}$ , où $\mathrm {F}$ est la fonction à dérivée non intégrable de M. Volterra, n’est intégrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel.
La courbe ${y=\mathrm {F} (x)}$ ne peut donc être rectifiée ni par l’une, ni par l’autre des deux méthodes employées.

Pour l’application indiquée dans la Note précédente, les deux intégrations sont aussi insuffisantes, comme on le voit en considérant la somme d’une dérivée non intégrable représentable trigonométriquement, et d’une fonction non dérivée représentable trigonométriquement.

[1] On peut remarquer que cette propriété reste vraie s’il s’agit de fonctions intégrables d’après la généralisation indiquée page 94.

[2] Je ne puis que signaler une autre application des intégrales D : lorsqu’une fonction dérivée bornée admet un développement trigonométrique, les coefficients de ce développement sont donnés par les formules connues d’Euler et Fourier, les intégrales qui figurent dans ces formules étant des intégrales D.
J’ajoute qu’il existe effectivement des fonctions dérivées bornées, non intégrables au sens de Riemann, qui admettent un développement trigonométrique. Pour la démonstration de ces propriétés, ou pourra se reporter à un Mémoire Sur les séries trigonométriques que j’ai publié dans les Annales de l’École Normale (novembre 1903).

[3] Il est facile de voir que ${\sqrt {1+\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\right)'}}$ n’est pas une dérivée exacte. On pourra pour le voir, soit développer ce radical en série de Laurent, soit utiliser les résultats qui seront obtenus plus loin. Partant de là, on démontrera sans peine que la quantité ${\sqrt {1+\mathrm {F} '(x)^{2}}}$ , où $\mathrm {F}$ est la fonction à dérivée non intégrable de M. Volterra, n’est intégrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel.
La courbe ${y=\mathrm {F} (x)}$ ne peut donc être rectifiée ni par l’une, ni par l’autre des deux méthodes employées.

Pour l’application indiquée dans la Note précédente, les deux intégrations sont aussi insuffisantes, comme on le voit en considérant la somme d’une dérivée non intégrable représentable trigonométriquement, et d’une fonction non dérivée représentable trigonométriquement.

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