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On a

$\mathrm {I} _{a}^{b}+\mathrm {I} _{b}^{c}+\mathrm {I} _{c}^{a}=0$.

La somme de deux fonctions intégrables D est intégrable D et a pour intégrale la somme des intégrales ; mais le produit de deux fonctions intégrables D n’est pas nécessairement intégrable D^[1].

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables D est une fonction intégrable D et l’intégration peut être effectuée terme à terme ; c’est la proposition de la page 85. De celle de la page 86 on déduit que si des fonctions intégrables D, $f_{n}(x)$, tendent en croissant vers une fonction intégrable D, $f(x)$, l’intégrale de $f_{n}$ tend vers celle de $f$, en croissant s’il s’agit d’un intervalle d’intégration positif.

La proposition analogue pour les intégrales de Riemann est vraie. Nous en calquerons la démonstration sur celle de la page 86.

Conservons les notations de cette page 86. $f$, $u_{1},u_{2},\ldots$ sont maintenant des fonctions intégrables positives. ${\mathcal {F}}$, $\mathrm {U} _{1},\mathrm {U} _{2},\ldots$, sont celles de leurs intégrales indéfinies qui s’annulent pour l’origine $a$ de l’intervalle considéré.

On a évidemment ${f\geqq s_{n}}$, d’où ${{\mathcal {F}}\geqq \mathrm {S} _{n}}$, et puisque les $\mathrm {S} _{n}$ croissent la série des $\mathrm {U}$ est convergente. L’accroissement de ${\mathcal {F}}$, dans un intervalle positif quelconque, est au moins égal à celui de $\mathrm {S} _{n}$, donc à celui de $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F}$ est à nombres dérivés bornés. Pour montrer que ${\mathrm {F} ={\mathcal {F}}}$, il suffit de montrer que ces deux fonctions ont même dérivée partout, sauf pour un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle. En tout point où $f$, $u_{1},u_{2},\ldots$ sont toutes continues, ${\mathcal {F}}$, $\mathrm {U} _{1},\mathrm {U} _{2},\ldots$ ont des dérivées et le raisonnement de la page 87 montre qu’en ces points $\mathrm {F}$ a même dérivée que ${\mathcal {F}}$. Mais les points où $f$ n’est pas continue forment un ensemble de mesure nulle $\mathrm {E} (f)$, les points de discontinuité de $u_{i}$, forment l’ensemble de mesure nulle $\mathrm {E} (u_{i})$ ; la réunion de tous ces ensembles donne un ensemble de mesure nulle $\mathrm {E}$. Et l’on a ${\mathrm {F} '={\mathcal {F}}'}$, sauf peut-être aux points de $\mathrm {E}$.

De là se déduit le théorème :

Lorsque des fonctions intégrables $f_{n}$ tendent en croissant

1. Par exemple le produit ${x\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\right)'}$ n’est pas intégrable D.