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La dérivée $\mathrm {F'}$ de $\mathrm {F}$ est bornée, car la dérivée de ${x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$, qui est nulle pour ${x=0}$, et qui, pour $x$ différent de zéro, est égale à

$2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}$,

est bornée. Cependant cette dérivée $\mathrm {F} '$ n’est pas intégrable, au sens de Riemann, car en tous les points de $\mathrm {E}$ le maximum de $\mathrm {F'}$ est +1 et son minimum est −1, puisqu’il en est ainsi au point ${x=a}$ pour la fonction $\varphi '(x,a)$ ; or $\mathrm {E}$, par hypothèse, n’est pas un groupe intégrable.

Par une application convenable du principe de la condensation des singularités, on obtient une fonction dérivée qui n’est intégrable dans aucun intervalle si petit qu’il soit^[1].

La définition de Duhamel s’applique donc à des fonctions bornées auxquelles ne s’applique pas la définition de Riemann ; de plus, la définition de Duhamel s’applique à des fonctions non bornées, car il existe des dérivées non bornées, mais toujours finies, la dérivée de ${x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}}$, par exemple.

À la définition de Duhamel et Serret on peut appliquer la généralisation employée par Cauchy et Dirichlet. Je ne m’occuperai pas de cette généralisation ni, pour le moment du moins, de la suivante, qui contient comme cas particulier la définition de Riemann et celle de Duhamel pour les fonctions bornées : Une fonction bornée $f(x)$ est dite sommable, s’il existe une fonction à nombres dérivés bornés $\mathrm {F} (x)$ telle que $\mathrm {F} (x)$ admette $f(x)$ pour dérivée, sauf pour un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle. L’intégrale dans ${(a,b)}$ est alors, par définition, ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$^[2].

Adoptons sans généralisation la définition de Duhamel et Serret. L’intégrale de Duhamel (intégrale D) jouit de certaines des propriétés de l’intégrale de Riemann.

1. M. Köpke a construit des fonctions dérivables à dérivées bornées s’annulant dans tout intervalle. Ces dérivées ne sont évidemment pas intégrables.
2. Comparez avec la page 83, où, dès que $f$ est donnée, on sait en quels points on n’a pas nécessairement ${\mathrm {F} '(x)=f(x)}$ ; ici, au contraire, on ne le sait pas.

   Les différentes fonctions $\mathrm {F} (x)$ correspondant à une même fonction $f(x)$ ne diffèrent que par une constante additive.