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Serret^[1]. Pour ces auteurs une fonction $f(x)$ a une intégrale dans ${(a,b)}$ lorsqu’elle admet dans ${(a,b)}$ une fonction primitive ${\mathcal {F}}(x)$. Cette intégrale $\mathrm {I} _{a}^{b}$ est, par définition,

$\mathrm {I} _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\mathcal {F}}(b)-{\mathcal {F}}(a)$.

Cette définition n’est pas équivalente à la définition de Riemann. D’une part, il existe, nous le savons, des fonctions intégrables, au sens de Riemann, qui ne sont pas des fonctions dérivées ; d’autre part, il existe, comme nous allons voir, des fonctions dérivées non intégrables au sens de Riemann.

Le premier exemple de telles fonctions est dû à M. Volterra (Giornale de Battaglini, 1881) ; voici comment on l’obtient :

Soit $\mathrm {E}$ un ensemble parfait non dense qui ne soit pas un groupe intégrable, p. 43. Soit ${(a,b)}$ un intervalle contigu à $\mathrm {E}$, considérons la fonction

$\varphi (x,a)=(x=a)^{2}\sin {\frac {1}{x-a}}$ ;

sa dérivée s’annule une infinité de fois entre $a$ et $b$, soit ${a+c}$ la plus grande valeur de $x$ non supérieure à ${\frac {a+b}{2}}$, qui annule $\varphi '$. Ceci posé, nous définissons une fonction $\mathrm {F} (x)$ par les conditions suivantes : elle est nulle aux points de $\mathrm {E}$ ; dans tout intervalle ${(a,b)}$ contigu à $\mathrm {E}$, elle est égale à ${\varphi (x,a)}$ de $a$ à ${a+c}$ ; de ${a+c}$ à ${b-c}$, la fonction $\mathrm {F}$ est constante et égale à ${\varphi (a+c,a)}$ ; de ${b-c}$ à $b$, $\mathrm {F}$ est égale à ${-\varphi (x,b)}$.

Cette fonction $\mathrm {F} (x)$ est évidemment continue. Elle a une dérivée ; ceci est évident pour les points qui n’appartiennent pas à $\mathrm {E}$ ; soit $x_{0}$ un point de $\mathrm {E}$, le rapport ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est nul si ${x_{0}+h}$ est point de $\mathrm {E}$. Si ${x_{0}+h}$ n’est pas point de $\mathrm {E}$, il appartient à un intervalle contigu à $\mathrm {E}$, soit $\alpha$ celle des extrémités de cet intervalle qui est dans ${(x_{0},x_{0}+h)}$ ; on a évidemment

$\left\vert r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]\right\vert =\left\vert {\frac {\mathrm {F} (x_{0}+h)}{h}}\right\vert \leqq {\frac {(x_{0}+h-\alpha )^{2}}{|h|}}<|h|$,

donc $\mathrm {F} (x)$ a une dérivée nulle en tous les points de $\mathrm {E}$.

1. En réalité Duhamel et Serret ne considéraient guère que des fonctions continues. Pour ces fonctions, d’après ce qui précède, leur définition est équivalente à celle de Cauchy.