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de $x$, on peut affirmer qu’elle est toujours nulle. C’est le théorème de Scheeffer, dans un cas particulier.

Revenons à la fonction $\varphi (x)$. Est-elle une dérivée ? Les deux théorèmes précédents ne semblent pas fournir facilement une réponse à cette question. Une première méthode consiste dans l’application d’un théorème démontré précédemment ; une fonction dérivée bornée a le même maximum que l’on néglige ou non les ensembles de mesure nulle^[1]. Il n’est pas difficile de démontrer que $\varphi (x)$ n’est différente de zéro que pour un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle (voir p. 109), $\varphi (x)$ n’est donc pas une fonction dérivée.

Ce résultat peut être obtenu d’une tout autre manière. Une dérivée ne peut pas être discontinue en tout point, et $\varphi (x)$ est discontinue en tout point.

Cette propriété des fonctions dérivées résulte d’un théorème dû à M. R. Baire. $f'(x)$ est la limite, pour ${h=0}$, de la fonction ${r[f(x),x,x+h]}$ continue en $x$ quand $h$ est constant ; c’est donc une fonction de première classe, c’est-à-dire une fonction limite de fonctions continues. Or M. Baire a démontré que si l’on considère une fonction de classe 1 sur un ensemble parfait quelconque, il existe des points où elle est continue sur cet ensemble parfait ; en d’autres termes, elle est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait^[2].

III. — L’intégrale déduite des fonctions primitives.

Dans beaucoup de cas nous savons, sans le secours de l’intégration, reconnaître si une fonction donnée est une dérivée et nous pouvons aussi espérer trouver sans intégration la fonction primitive d’une dérivée donnée. Précédemment nous résolvions ces questions en nous servant de l’intégrale définie ; on peut se demander si, inversement, nous ne pourrions pas définir l’intégrale à l’aide des fonctions primitives. C’est la méthode de Duhamel et

1. Je rappelle que ce théorème a été obtenu sans l’emploi de l’intégration.
2. Cette condition est nécessaire et suffisante pour qu’une fonction soit de classe 1. Pour la démonstration voir la Thèse de M. Baire, citée page 79.