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d’une valeur à une autre sans prendre, une fois au moins, chaque valeur intermédiaire. C’est le cas de la fonction égale à $\sin {\frac {1}{x}}$ pour ${x\neq 0}$ et à n’importe quelle valeur de l’intervalle (−1, +1) pour ${x=0}$.

Il est assez curieux qu’une fonction puisse jouir de cette propriété qui a été prise pour définition de la continuité et être cependant discontinue en tout point. Pour construire une telle fonction, j’écris le nombre $x$, pris entre 0 et 1, dans un système de numération, le système décimal par exemple

$x={\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3}}}+\ldots$.

Considérons la suite des chiffres de rang impair $a_{1},a_{3},a_{5},\ldots$. Si elle n’est pas périodique, nous prendrons ${\varphi (x)=0}$ ; si elle est périodique, et si la première période commence à $a_{2n-1}$ nous prendrons

$\varphi (x)={\frac {a_{2_{n}}}{10}}+{\frac {a_{2n+2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{2n+4}}{10^{3}}}+{\frac {a_{2n+6}}{10^{4}}}+\ldots$.

Il est évident que la fonction $\varphi (x)$ ainsi définie prend toutes les valeurs de (0, 1) dans un intervalle quelconque si petit qu’il soit, donc $\varphi (x)$ est discontinue en tout point ; d’ailleurs $\varphi (x)$ ne prend pas de valeurs extérieures à (0, 1), donc $\varphi (x)$ ne passe pas d’une valeur $a$ à une autre $b$ sans prendre toutes les valeurs de (0, 1), et, a fortiori, toutes les valeurs comprises entre $a$ et $b$.

Il faut aussi remarquer que, avec la définition critiquée par M. Darboux, la somme de deux fonctions continues n’est plus nécessairement une fonction continue. En effet, si

$f_{1}(x)=\sin {\frac {1}{x}}$pour$x\neq 0$et$f_{1}(0)=1$,

et si

$f_{2}(x)=-\sin {\frac {1}{x}}$pour$x\neq 0$et$f_{2}(0)=1$,

les deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ne peuvent passer d’une valeur à une

qui intervient directement dans presque toutes les démonstrations, tandis que la propriété des fonctions continues et dérivées n’est guère employée que dans le théorème des substitutions et ses conséquences.