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Je laisse de côté les remarques analogues relatives à la recherche d’une fonction admettant pour nombre dérivé une fonction donnée. Je vais indiquer quelques propriétés des fonctions dérivées qui permettront parfois de reconnaître immédiatement qu’une fonction donnée n’est pas une fonction dérivée.

II. — Propriétés des fonctions dérivées.

Une fonction dérivée ne peut passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. Supposons, en effet, que l’on ait ${f'(a)=\mathrm {A} }$, ${f'(b)=\mathrm {B} }$, et soit $\mathrm {C}$ un nombre compris entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. On peut prendre $h$ positif assez petit pour que ${r[f(x),a,a+h]=\Lambda f(a)}$ soit compris entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ et que ${\Lambda f(b-h)}$ soit compris entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$. La fonction ${\Lambda f(x)}$ est, $h$ étant fixe, une fonction continue de $x$ ; quand $x$ varie de $a$ à ${b-h}$ elle passe d’une valeur comprise entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ à une valeur comprise entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$, donc pour une certaine valeur $x_{0}$ de ${(a,b-h)}$ on a ${\Lambda f(x_{0})=\mathrm {C} }$. Le théorème des accroissements finis montre que dans ${(x_{0},x_{0}+h)}$ il existe une valeur $c$ telle que ${f'(c)=\mathrm {C} }$^[1].

Les fonctions dérivées jouissent donc de l’une des propriétés des fonctions continues. M. Darboux, dans son Mémoire Sur les fonctions discontinues^[2], a beaucoup insisté sur cette propriété. On avait pris, en France, l’habitude de définir une fonction continue celle qui ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, et l’on considérait cette définition comme équivalente à celle de Cauchy. M. Darboux, qui construisait dans son Mémoire des fonctions dérivées non continues au sens de Cauchy, a pu montrer que les deux définitions de la continuité étaient fort différentes^[3].

Il est facile de citer des fonctions discontinues qui ne passent pas

1. Ceci ne suppose pas que $f'(x)$ soit finie, mais seulement que $f'(x)$ soit toujours bien déterminée en grandeur et signe.
2. Annales de l’École Normale, 1875.
3. On me permettra de signaler qu’en 1903 on enseignait encore dans un lycée de Paris la définition critiquée dès 1875 par M. Darboux. Cela est d’autant plus étonnant que la propriété qui est énoncée dans la définition de Cauchy est celle