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les points ${x_{0}=a},x_{1},x_{2},\ldots ,{x_{n}=b}$ pris assez rapprochés pour que, dans ${(x_{i},x_{i+1})}$, l’oscillation de $f$ soit inférieure à $\varepsilon$.

Dans la courbe ${y=f(x)}$ inscrivons la ligne polygonale ${y=\varphi (x)}$ dont les sommets ont pour abscisses $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$, $f(x)$ et $\varphi (x)$ diffèrent de moins de $\varepsilon$. C’est dire que $\varphi (x)$ tend uniformément vers $f(x)$, quand $\varepsilon$ tend vers zéro ; il nous suffira donc de démontrer que $\varphi (x)$ est une fonction dérivée pour que nous puissions affirmer qu’il en est de même de $f(x)$. Mais $\varphi (x)$, étant dans ${(x_{i},x_{i+1})}$ le polynôme du premier degré

$\varphi (x)=f(x_{i})+(x-x_{i}){\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}$,

est la dérivée de la fonction continue qui, dans ${(x_{i},x_{i+1})}$, est définie par

${\begin{aligned}\Phi (x)&=\sum _{j=1}^{j=i}(x_{j}-x_{j-1}){\frac {f(x_{j})-f(x_{j-1})}{x_{i+1}-x_{i}}}\\&+(x-x_{i})f(x_{i})+{\frac {(x-x_{i})^{2}}{2}}{\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}.\end{aligned}}$

Il est démontré que toute fonction continue est une fonction dérivée, et cela sans avoir recours à l’intégration^[1].

Lorsque nous saurons mettre une fonction sous la forme d’une série de fonctions dérivées toutes de même signe, nous aurons un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si $f$ est une dérivée exacte, puisque la fonction primitive de $f$ ne peut être autre que la somme des fonctions primitives des termes de la série donnée (comparez p. 82).

Ainsi les deux théorèmes sur les fonctions primitives des séries nous permettent de faire dans certains cas, relativement à la détermination des fonctions primitives, ce que les théorèmes sur l’intégration nous permettent de faire pour les fonctions intégrables.

1. On pourrait être tenté, pour appliquer le théorème sur les séries uniformément convergentes de dérivées, de s’appuyer sur cette proposition, due à Weierstrass : toute fonction continue est représentable par une série uniformément convergente de polynômes. Pour que cette méthode convienne pour le but que nous avons en vue, il faut avoir soin de démontrer le théorème de Weierstrass sans se servir de l’intégration. La démonstration que j’ai donnée dans le Bulletin des Sciences mathématiques de 1898, dans une Note Sur l’approximation des fonctions, satisfait à cette condition.