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solution approchée. On a dit souvent, ajoutet-ii, qu’en cherchant ces solutions chimériques on trouvait des vérités utiles, opinion fondée dans le temps où la méthode de découvrir la vérité était également inconnue danstous lesgenres ; mais il conclut qu’iln en saurait être de même à l’époque où l’Académie prend sadécision, laquelle aura, du reste, un résultat bienfaisant, puisqu’elle rendra certains hommes» aux occupations de la famille ou d’un travail régulier et les empêchera de s’en détourner pour s’adonner à des recherches vaines et forcément infructueuses.
L’Académie n’espérait pas que sa résolution empêcherait à l’avenir la réapparition de nouveaux quadrateurs ; c’eût été trop présumer de l’esprit humain. Ceux qui recherchent les problèmes dont nous avons parlé sont presque toujours parfaitement ignorants des principes les plus élémentaires et des raisonnements les plus simples de la géométrie. Aussi s’étonnent-ils assez, le plus souvent, de leur découverte pour l’attribuer a la divinité et se croire l’objet de ses faveurs spéciales. Montucla, dans son Histoire des mathématiques, fait spirituellement remarquer que ces sortes d’écrits se présentent surtout au printemps, a l’époque de l’année où les cas de folie sont le plus fréquents.
La décision de l’Académie eut, du moins, pour effet immédiat de détruire la popularité du problème de la quadrature, popularité due surtout à, ce qu’on croyait à des sommes considérables promises par les gouvernements à ceux qui donneraient des solutions exactes.
L’opinion générale cessa donc de se préoccuper de cette question, et le nombre des quadrateurs diminua sensiblement.
Toutefois, il ne se passe guère d’année que l’Académie des sciences ne reçoive communication de quelque opuscule, parfois d’ouvrages très-développés sur ce sujet.
Nous croyons devoir rappeler, à la suite de cette histoire des recherches qui ont été faites sur la quadrature du cercle, les diverses démonstrations qui ont été données, à différentes époques, de l’impossibilité mathématique de résoudre ce problème.
Comme l’expose Condorcet, il y a, dans l’étude de la quadrature du cercle, deux problèmes : on peut chercher à résoudre l’un ou l’autre. On peut se proposer d’établir la quadrature du cercle entier ou de déterminer une aire rectiligne équivalente à un secteur quelconque dont la corde est donnée. Le premier problème est celui de la quadrature définie ; l’autre celui de la quadrature indéfinie. Ou a reconnu depuis longtemps l’impossibilité de résoudre la quadrature indéfinie. Grégory, Newton, Bernouilli ont donné des démonstrations toutes satisfaisantes de cette vérité.
Grégory fit paraître, en 166*. un ouvrage intitulé : Vera circuli et hyperbole quadratura (où il entendait par vraie quadrature celle qui ne cherche qu’une approximation) j il s’efforça d’y prouver que la quadrature définie est aussi impossible que la quadrature indéfinie. Il s’appuyait uniquement sur la continuité des formules relatives aux polygones inscrits et circonscrits à la circonférence.
Dans ses Principes de philosophie naturelle, Newton a donné par le lemme xtlviii du 1er iivre une démonstration de l’impossibilité où l’on est de carrer un secteur indéfini d’aucune courbe fermée ou revenant sans cesse sur elle-même ; et il entendait par cette définition toute courbe pour laquelle l’angle que fait le rayon vecteur aboutissant à un point mobile sur la courbe avec une direction fixe croît indéfiniment lorsque le point se déplace indéfiniment dans le même sens sur la courbe.
La démonstration de Newton, quoique assez ardue, puisqu’elle s’appuie sur des points délicats de la théorie des équations, ne laisse pas que de convaincre pleinement par la clarté et la précision de ses raisonnements. 11 démontre que, dans une pareille courbe où une infinité d arcs correspondent à une même abscisse, l’équation entre l’arc et l’abscisse doit être d’un degré infini, et, par conséquent, l’arc algébriquement irrectifiable.
Jean I*r Bernouilli a démontré, d’autre part, que le rayon d’un cercle et un secteur indéfini sont reliés entre eux par une fonction logarithmique réelle, mais renfermant des quantités imaginaires dans sa forme. II a fait voir qu’on ne saurait trouver les racines de l’équation qui lie un secteur et sa corde par l’intersection d’aucune ligne courbe et réelle ou mise sous une forme réelle et d’une autre courbe de même forme.
De toutes ces réflexions, il résulte clairement l’impossibilité de décrire une surface plane et terminée par des lignes droites qui soit équivalente à un secteur déterminé d’un cercle donné.
Mais, à l’époque où l’Académie des sciences prit la résolution de ne plus examiner les solutions qu’on lui proposerait de la quadrature du cercle, il n’existait pas de démonstration, pleinement convaincante aux yeux de tous les géomètres, de l’impossibilité où l’on est de carrer même un cercle ou un demi-cercle, ou tel secteur parfaitement défini d’un cercle qui soit à cette surface dans un rapport constructible. C’est l’expérience qu’avaient les académiciens de la futilité des {■retendues solutions qui avaient été pendant
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plus de soixante-dix ans communiquées à leur assemblée que Condorcet invoque pour expliquer la décision de l’Académie, et il ne rejette pas la possibilité de trouver la quadrature définie du cercle, car, dit-il, « il arrive souvent de trouver pour des valeurs particulières des quantités dont l’expression est impossible en général. » Toutefois, Grégory, plus d’un siècle auparavant, avait exposé, dans l’ouvrage que nous avons cité plus haut, une démonstration très-cortecte de l’impossibilité de la quadrature même définie. Huygbens conteste, il est vrai, la valeur de cette démonstration, en prétendant que les conclusions en étaient présentées obscurément et mal exposées. Mais, pour en comprendre la véritable valeur, il suffit de s’appuyer sur ce fait, qui. sert de base à tous les développements de la géométrie moderne, que la circonférence du cercle est la limite à la fois des périmètres des polygones inscrits et de ceux des polygones circonscrits dont le nombre des cotés croit au delà de toute limite.
En 1761, ’ Lambert fit voir, dans son Mémoire de Berlin, que le rapport de la circonférence au diamètre (nous le désignerons par *, lettre qui lui est généralement consacrée) et son carré sont des nombres irrationnels ; mais Bernouilli alla plus loin en démontrant que toutes les puissances réelles de « sont irrationnelles. Par la considération des logarithmes de quantités imaginaires, il arriva à une expression de « très-remarquable ; c’est la suivante :
. log V^l (1, * = 8-^ Nous ferons remnrquerque cette valeur de la longueur d’une demi-circonférence, dans laquelle le rayon est égal à l’unité, est bien de la forme des fonctions îogarithmiquesqui, selon ce qu’a fait voir Bernouilli lui-même, relient le secteur a sa corde.
La quadrature du cercle ayant été ramenée à l’évaluation de la circonférence serait résolue si on pouvait construire géométriquement une ligne qui ait pour mesure ia une échelle déterminée. La formule (1) démontre que cela est absolument impossible, puisque « est une quantité irrationnelle d’un ordre supérieur. C est, du reste, ce qu’apprend une autre expression très-élégànte de iu que Vandermonde avait tirée, dès 1772, de la théorie des factorielles et d’après laquelle
(2)
r-
■ET
SI-
formule dans laquelle on a adopté la notation de Kramp.
11 faudrait donc que la géométrie fût capable de construire les irrationnelles supérieures pour qu’on pût représenter exactement v par une ligne, c’est-à-dire carrer le cercle. Sans démontrer ici que la solution do pareils problèmes n’est pas. de celles que comporte la géométrie, nous remarquerons qu’il ne suffirait pas de savoir construire de telles expressions pour avoir résolu le problème. Et en effet, en dégageant de la formule (2) la valeur de is indépendante de toute fonction dérivée et en en étudiant la nature, M. Wronski est arrivé à une nouvelle expression où se dévoile la nature entièrement transcendante de ce nombre. Cette formule est la suivante :
(3J ï" -^[fr + ^^-k-^ J
11 est facile de remonter de cette belle expression à une autre en développant les binômes par la formule de Newton. Oa retrouve une série due à Leibniz (1673) :
(*)
V 3*570 /
Il est extrêmement remarquable que l’équation (3) apporte une nouvelle vérification pour le cas de la quadrature définie à la loi que Newton avait donnée sur les arcs des courbes fermées : « L’équation entre l’arc et l’abscisse est d’un degré infini, ce qui rend l’arc irrectifiable. • Ainsi, les radicaux qui entrent dans la génération du nombre u sont d’un ordre infini ; il ne faut donc pas espérer de le réaliser dans le domaine de la géométrie par une construction finie. Malgré de si complètes démonstrations, il y a encore quelques esprits qui croient à la possibilité de la quadrature du cercle. Leur erreur provient le plus souvent de ce qu’ils supposent qu’il doit nécessairement exister une ligne droite égale en longueur à une portion de ligne courbe donnée. Or il est aussi erroné de croire qu’il existe toujours un nombre rationnel racine d’un nombre quelconque donné.
En effet, la conception d’une courbe repose sur une génération continue de l’espace, comme la conception d’une racine repose sur une génération continue des nombres, tt-ndis que les conceptions de ligne droite et de nombre rationnel reposent sur des générations discontinues.
Il est donc aussi rare qu’une portion de courbe soit rectifiable qu’il est rare qu’un nombre donné ait une racine rationnelle. Et, comme la génération continue se présente particulièrement dans les courbes rentrantes en elles-mêmes et surtout dans le cercle, il est facile de s’expliquer la cause géométri QUAD
que à laquelle le théorème de Newton doit son exactitude.
— Astron. On dit que la lune est en quadrature lorsqu’elle nous parait réduite à la moitié de sa surface. Elle est alors dans un de ses quartiers, c’est-à-dire au quart ou aux trois quarts de sa révolution. Le triangle qui a pour sommets les centres de la terre, de la lune et du soleil est, à ces instants, rectangle au point occupé par la lune, et c’est pour cette raison qu’elle nous apparaît sous la forme d’un demi-grand cercle, la moitié seulement de l’hémisphère tournée, vers nous étant éclairée par le soleil. L’intervalle de deux quadratures consécutives de la lune forme un demi-mois lunaire ou une demilunaison. Cet intervalle était, au commencement du siècle, de 29j,530589 ; mais il diminue lentement de siècle eu siècle avec la durée de la révolution sidérale de la lune, dont il dépend.
Les quadratures de la lune portaient chez les anciens le nom de dichotomie, c’est-à-dire partage en deux. C’est en mesurant l’angle des rayons visuels menés de la terre à la lune et au soleil au moment de la dichotomie qu’Aristarque de Samos a essayé le premier d’obtenir une valeur du rapport des distances de la terre aux deux astres. Les procédés d’observation et les méthodes de calcul étaient alors si imparfaits, qu’Aristarque trouva que la distance de la terre au soleil était à peu près vingt fois celle de la terre à. la lune, tandi3 qu’elle est quatre cents fois plus grande. La tentativé d’Aristarque de Samos n’en est pas moins d’une grande valeur si on l’envisage au point de vue do la méthode. C’est, en effet, le premier essai qui ait été fait d’application du calcul numérique aux recherches astronomiques.
Les marées des quadratures sont les moins fortes, parce que les actions de la lune et du soleil sur l’Océan sont alors directement opposées.
Vénus a des phases en tout analogues a celles de la lune et entre comme elle deux fois en quadrature à chaque révolution.
QUADRATURE s. f. (ka-dra-tu-re). Teehn. Autre orthographe du mot cadratuhb.
QUADRELLE s. f. (koua-drè-Ie — dimin. du lat. quadrum, carré). Bot. Syn. de coli-
CODENDRON.
QUADRETTE s. f. (koua-drè-te). Bot. Genre de plantes, de la famille des mélastomées.
QUADRI, préfixe. V. quadr.
QUADRt (Giovanni-Lodovico), architecte et graveur italien, né à Bologne en 1700, mort dans la même ville en 1748. Gori Gandellini.dans ses Notices sur les graveurs, cite de Quadri quelques planches et divers monuments qui décorent sa ville natale. U est surtout connu par des recueils spéciaux qu’il a publiés à Bologne : Tavole gnomoniche (1733-1746) ; lîegole degli cinque ordini di architetlura et Jiegole délia prospectiva praitica (1744). Quadri a composé et gravé les planches nombreuses de ces albums, qui prouvent une grande science, mais qui ne sont pas exécutées au point de vue de la gravure seule, 11 a, en outre, laissé divers manuscrits qui sont déposés à la bibliothèque de l’institut de Bologne.
QUADRI (Antoine), administrateur et économiste italien, né à Vicence en 1777, mort à Venise vers 1845. Il succéda, en 1803, à son père comme chef de division au département des finances dans sa ville natale, fut attaché, en 1805, au quartier général de l’archiduc Charles, puis devint successivement, sous la domination française, directeur de l’enregistrement à Padoue, sous - préfet à Asigno (1807) et à Bassano (iSlû), directeur du personnel des préfets et sous-préfets (1813). Lorsque les provinces lombardo-vénitiennes retombèrent sous la domination autrichienne en 1814, Quadri proposa un plan de réorganisation administrative, fut nommé secrétaire du gouvernement des provinces vénitiennes (1816). Il rédigea ensuite la statistique générales de ces provinces (1816-1819), pour lesquelles il fit deux recueils de lois et ordonnances. On lui doit plusieurs ouvrages, dont quelques-uns ont été longtemps classiques et qui le firent admettre à 1 Académie des sciences de Turin. Les principaux sont : Memoria di economia politica (Padoue, 1819) ; Huit jours à Venise (Venise, 1822, in-18), guide publié en français et en italien ; Storia delta statisiica (Venise, 1824} ; Prospeclo statislico délie provinzie venete (Venise, 1826), complété par un Atlas statistique de 82 tableaux synoptiques (Venise, 1S27) ; Dieci epochi delta storia d’Italia. (Venise, 1S26-1S27) ; 11 gran canale di Venezia (Venise, 1828) ; Histoire^ et statistique comparée des divers États de l’Italie (1S30 et suiv., 10 vol.) ; Manuel du voyageur en Italie jusqu’à Venise (Paris, 1835, in-18).
QUADRIA s. m. (koua-dri-a — du lai. quadrum, carré). Bot. Syn. de gévuine ou gub-
VIKIB.
QUADR1A1LÉ, ÉE adj, (koua-dri-è-lédu préf. quadri, et de ailé), lîntom. Qui a quatre ailes.
QUADRIARTICUIÉ, ÉE adj. {koua-dri-ar-r ti-ku-lé — du préf. quadri, et de articulé). Entom. Qui a quatre articles.
QUADRIAZOTÉ, ÉE adj. (koua-dri-a-zo-té
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— du préf. quadri, et de aioté). Ctaira. Qui contient quatre fois autant d’azote que la première combinaison du même genre.
QUADRIBACCIUM s. m. (koua-dri-ba-ksiomm — mot lat, formé du préf. quadri, et de bacca, baie). Antiq. Bijou formé de la réunion de quatre pierres précieuses.
QUADR1BASIQUE adj. (koua-dri-ba-zï-ke
— du préf. quadri, et de basique). Chim. Se dit d’un sel qui contient quatre fois autant de base que d acide.
QUADRIBINAIRB adj. (koua-dri-bi-nè-re
— du préf. quadri, et de binaire). Miner. Qui résulto de quatre décrotssements par deux rangées.
QUADR1CAPSULA1RE adj. (koua-dri-kapsu-lè-re — du préf. quadri, et de capsule). Bot. Qui est composé de quatre capsules.
QUADRICARBURE s. m. (koua-dri-kar-bure —’ du préf. quadri, et de carbure). Chim. Carbure qui contient quatre fois autant de carbone que la première combinaison ou môme genre.
QUADRICARIRÉ, ÉE adj. (koua-dri-ka-riné — du préf. quadri, et du lat. carina, carène). Ilist. nat. Qui est muni de quatre organes en forme de carène.
QUADRICARRE s. f. (koua-âri-ka-re — du préf. quadri, et de carré). Jeux. Droit qu a le quatrième joueur, a la bouillotte, Cacheter le privilège du carré en doublant l’enjeu déjà doublé trois fois par les trois joueurs précédents, c’est-à-dire par le carré, le contre-cané et le tri-carré. Il Exercice de ce droit, il Enjeu produit par l’exercice de ce droit.
QUADRICARRE (koua - dri - ka - ré) part. passé du v. Quadricarrer.
— s. m. Quatrième joueur, ainsi appelé parce qu’il possède le droit de se quadricarrer.
QUADRICARRER (SE) v. pr. (koua-drika-ré — du préf. quadri, et.de carré). Jeux. Exercer le droit de quadricarre : Je me qua-
MUCARRE.
QUADRICHLORÉ, ÉE adj. (koua-dri-klo-ré
— du préf. quadri, et de chloré). Chim. Se dit d’un composé qui contient quatre fois autant de chlore que le premier composé de même espèce.
QUADRICINIUM s. m. (koua-dri-si-ni-omm
— du lat. quatuor, quatre). Ane. mus. Composition musicale à quatre parties.
QUADHICOLORE adj. (koua-dri-ko-lo-redu préf. quadri, et du lat. coter, couleur). Hist. nat. Qui offre quatre couleurs différentes.
— s. m. Ornith. Espèce de bruant qui habite Java.
— s. f. Hortic. Variété d’oeillet. Il Variété d’anémone.
QUADRICORNE adj. (koua-dri-kor-nedu préf. quadri, et de corne). Zool. Qui a quatre cornes ou quatre anteuuea.
— Bot. Se dit des anthères dont les lobes, terminés en pointe et divergents, forment quatre sortes de cornes.
— s. m. Mamm. Nom vulgaire d’une espèce d’antilope.
QUADRICOTYLÉDQNÉ, ÉE adj.’(koua-driko-ti-lé-do-né — du préf. quadri, et de cotylédoné). Bot. Se dit d’un embryon qui est muni do quatre cotylédons.
QUADRJCUSP1DÉ, ÉE adj. (koua-dri-kuspi-dé — du préf. quadri, et de cuspidé). Hist. nat. Qui se termine par quatre pointes.
QUADR1DÉCIMAL, ALE adj. (koua-dn-dési-mal, a-le — du préf. quadri, et de décimal). Miner. Se dit d’un minéral qui cristallise en prisme octogone, avec un seul sommet a quatorze faces. •
QUADRIDÉCIOCTONAL, ALE adj. (kouadri-dé-si-o-kto-nal, a-le — du préf. quadri : du lat. decem, dix, et de ocrofl», huit). Mmér. Se dit d’une variété da topaze qui a la torme d’un prisme octogone, avec un seul sommet à quatorze faces.
QUADRIDENT s. m. (koua-dri-dan — du préf. quadri, et de dent). Bot. Genre de mousses.
QUADRIDENTÉ, ÉE adj. (koua-dri-d an-té
— du préf, quadri, et de denté). Bot. Qui est muni de quatre dents, de quatre pointes, de quatre divisions.
QUADRIDIG1TÉ, ÉE adj. (koua-dri-di-ji-té
— du préf. quadri, et du lat. digitus, doigt). Bot. Se dit d’une feuille dont le pétiole se termine par quatre folioles.
QUADRIDIGITJPENNÉ, ÉE adj. (koua-drjdi-ji-ti-pènn-né — du préf. quadri, et de digitipenné). Bot. Qui a des feuilles dont le pétiole se partage en quatre autres portant des folioles.
QUADRIDODÉCAÈDRE adj. (koua-dri-dodè-ka-é-dre — du préf. quadri, et de dodecaèdre). Miner. Qui résulte de la combinaison de quatre dodécaèdres.
QUADRIDUODÉCIMAL, ALE adj. (kouadri-du-o-dé-si-mal, a-le — du préf. quadri, et de duodécimal). Miner. Qui a la forme d’un dodécaèdre dont quatre angles sont reraplaces chacun par une facette.
QUADRIENNAL, ALE adj. (koua-dri-ènn-
