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QUAD
y, l’aire correspondante à cet arc se composera de celle du trapèze
et de celle du segment parabolique. Or, on suit que ce segment sera les deux tiers du
^n
S’
&
Fij. *•
triangle compris entre la corde et les tangentes menées aux. extrémités de l’arc ; d’ailleurs, le point de concours de ces tangentes, situé sur l’ordonnée intermédiaire ylt se trouvera à la même distance de l’extrémité de cette ordonnée y, que celle-ci de l’extré QUAD
mité de" l’ordonnée moyenne du trapèze. Il résulte de là que l’aire du triangle sera
ou
• ?(»-H*)
?<*■
■y.—y.L
que, par suite, celle du segment parabolique sera
2PQ„>
3— (tyi — y, — VU
et enfin que l’aire cherchée sera 1 PQ
3 ~^~to’+v*+*yi)- ■
La suivante serait de même 1 PQ 3 n
—et ainsi de suite.
En supposant donc que le nombre n des divisions de la base soit pair, l’aire totale sera représentée par
(y, +y. ■+*V, ),
PO
+ yn+*>a + *y, + + *’M-t)
ou par
1 PO
Sp désignant la somme des ordonnées "de rangs pairs et S, celle des ordonnées de rangs impairs.
Enfin le général Poncelet a proposé de prendre, pour l’aire cherchée, la moyenne arithmétique entre celle d’un polygone inscrit formé au mo)’en des cordes qui joindraient les extrémités des ordonnées
y, et y„ fo et y„..., yn — i ^Vn
et celle d’une sorte de polygone circonscrit, formé des tangentes menées aux extrémités des ordonnées de rangs impairs et terminées aux prolongements des ordonnées de rangs pairs voisines.
La formule du général Poncelet, déduite d’un calcul analogue au précédent, est
n V ’ * * )’
Les formules précédentes fournissent, dans la pratique, des résultats aussi approchés qu’on le veut, puisqu’il suffit toujours, pour diminuer l’erreur commise, de multiplier davantage les divisions de la base PQ de l’aire a évaluer ; mais il est clair que la méthode générale d’où dérivent toutes ces formules est la méthode d’interpolation. Que l’on substitue à la fonction y définie par l’équation de la courbe que l’on veut carrer une fonction interpolatrice
y= A + Bn + C»] +... ;. l’aire cherchée sera
A11 +
En’
+ ?+-
— Analyse. On nomme, en analyse, quadrature 1 intégration d’une fonction différentielle explicite, ne dépendant que d’une seule variable ; ainsi la recherche d’une intégrale
Jflxjdx
est une quadrature.
Les quadratures que l’on sait effectuer sont relativement peu nombreuses. On a pu déterminer les intégrales de quelques différentielles transcendantes/qui ne comportent pas de classification. Les seules autres fonctions desquelles on ait opéré la quadrature sont des fonctions rationnelles contenant tout au plus deux radicaux du second degré portant sur des binâmes du premier degré ou us seul radical du second degré portant sur un trinôme de second degré. Nous allons passer en revue ces trois cas principaux.
— Différentielles rationnelles. Une expression rationnelle peut toujours se décomposer en parties rentrant dans l’un des types
(x-a)m’ [(*—)■+ rf ?
Une intégrale portant sur une différentielle rationnelle se ramènera donc toujours à une somme d’intégrales comprises dans les foimules
Çix-a)mdx, C-J*
J J {x-ar
et
J [(*—)»
+ riT
Nous allons les examiner successivement. L’intégrale
§ {x — a)mdx s’obtient immédiatement ; c’est
m+ 1 il en est de même de
(x — à
m + 1.
h
dx
qp’on peut écrire
cette intégrale s’exprime par
m— 1 v ’
Elle prendrait une forme illusoire si m était égal a 1, mais on sait que
dx
L(x— a).
J x
X— o Enfin la troisième intégrale x — a
/[
peut se décomposer en
x — a
dx
dx
+
j (x-<, .y + i’]m
Ç a —a dx
La première partie s’exprime immédiatement par
Ï5ÎZT) [(—)■ +ri —+ 1j
quant à la seconde, en posant x — a = es, on la transforme en
Bl(n»-i)J (i’
dz
p(m-l)J [z’ + l)n Tout se réduit donc à intégrer ds
(»4 i)m’
Or, on a identiquement
1 l+z’—z>
(s’ + l)" 1
(î-f-*1)"1-’ (1+ *’)"*’
par conséquent
Ç ds = Ç dz
J (i + *)m J (i-r—-)"1-1
Si
z’dz
0+*’)"»’ mais, en considérant
xdz
comme la différentielle exacte dans s’ds
l’intégration par parties donne z’ds s
S
(l + z')m 2(m — J)(l+2’)m-1
t- ’ r a
En substituant dans l’équation précédente, il viendra
/
ds 11» ! — i
(l + z')m 2(m—1)(1 + ^} 2m —3 r dz
«(»•-»> J (i + î’)"’-1*
Cette formule ramène l’intégration proposée ù une autre semblable, mais où l’exposant de 1 + s" est diminué d’une unité ; on s’en servira donc pour abaisser de proche en proche cet exposant jusqu’à le réduire à l’unité. On sera alors amené à intégrer
ds 1 -M’ qui est la différentielle de arc tang s. La substitution donnera l’intégrale que 1 on cherchait d’abord.
QUAD
— Différentielles irrationnelles. La méthode pour intégrer les différentielles irrationnelles consiste à les rendre rationnelles par un changement de variable indépendante. Supposons d’abord que la fonction proposée contienne les deux radicaux irréductibles
^x--a et /x+T ; si l’on pose
(/x--a=sx,
d’où x=z’ — a et dx=isdz ;
en substituant dans la fonction proposée, on n’aura plus qu’un seul radical,
transformé en
s/z’-a+b,
mais portant alors, comme on voit, sur une fonction du second degré. Ainsi, le cas où la fonction différentielle comprend deux radicaux carrés portant sur des binômes du premier degré se ramène a celui où la fonction ne contient plus qu’un seul radical carré, mais portant sur un trinôme de second degré. C’est donc ce dernier cas qu’il reste à traiter. La différentielle proposée peut alors être notée sous la forme
f(x, /a~+bx±x^)dx.
Supposons d’abord que x’ ait le signe -j- sous le radical ; en posant
y’a -- bx + x’ = s--x,
o + bx = zl + 2zx
bdx = 2sds -f izdx -- 2xdz ;
on en tirera
z’ — a
d’où et
0 — 2z
, s’-a
a + Â 7Z
= 2 ; dS
z’ — bzA-a,
= — 2 -77 TT-tk
(b — 22)>
et enfin
1— ;, s’ — bs + a
va+bx + x’ = s--x = r !— ;
1 b — 2s
La différentielle proposée sera donc devenue rationnelle. Supposons maintenant que x’, sans le radical, ait le signe — ; si les racines
QUAD
de l’équation a + bx — s’étaient imaginaires, le radical
^a--bx — x"
serait toujours imaginaire ; on pourrait donc sans inconvénient le remplacer par
/~l /— a— àx+x*
et appliquer la méthode précédente ; si, au contraire, les racines sont réelles, en les désignant par a et p on fera prendre au radical la forme
V/fa-aOCr-p) ;
1 +z'
(m-’)-
1 + ï1
ds
ds
(i+z’y
et enfin
y (■ *)(* « = (x-i)s = 7^.
La différentielle proposée sera donc encore devenue rationnelle. Les autres différentielles irrationnelles que l’on sait intégrer sont quelques différentielles binômes (v. binôme)’ ; les plus simples parmi celles qui viennent ensuite donnent lieu aux fonctions elliptiques. — Différentielles transcendantes. Les différentielles transcendantes qui ne contiennent que ex ou sin x et cos x peuvent être rendues algébriques en posant, dans le premier cas, ex = z et, dans le second, sin x = z ou cos x = s. Les autres se traitent par des moyens particuliers que suggère la forme de chacune d’elles. Par exemple,
I e"* cos bx dx et I 1
eaxsm bxdx
peuvent se déterminer simultanément au moyen de l’intégration par parties, en considérant e^dx comme la différentielle exacte. On trouve, en effet,
et
e01 cos bxdx ■■
eax cos bxdx
e01 cos bx
eax sin bx
+ - I eal's’m bxdx aJ
— I e^cos bxdx- aJ
On a ainsi deux équations du premier degré entre les intégrales inconnues.
On en tire
/
ax, , a cos bx — b sin bx ax
e1" cos bxdx = ; jt e
a’ + b*
et
/> sin bxdx = " Sî" bx ~ b cos tee<*
Nous terminerons par un tableau aide-mémoire des quadratures qui se rencontrent le plus souvent et qu’on ne peut pas obtenir immédiatement.
S
s
dx
Y a -- bx + x'
dx y’a + bx — x’
= = L(b- + x + Y’a + t, x+x’) + C, y’a + bx — x’ — /a.
=— s arc tang . 2x — b, „
= — arc cos -=zz : +■ C
/rbr+ 4U 6
- arc sin
—r-C
/xmdx = /1 — x’
rm-yi^. m-l Çxm-*dx
dx
Cette formule, qui sert à abaisser l’exposant de x de deux unités, permettra, en l’appliquant de proche en proche, d’intégrer toutes les différentielles de la forme
ndx
v’i-x'
m étant positif et entier. On arrivera, dans le cas de m impair, à
/xdx JT^-~x~*'
dont la valeur est — Kl-a ?, et, dans le cas de m pair, à
/
dx
/l —s»’
dont la valeur est arc sin x. La même formule donne
r^z^jïE. - ? ~ m+i vT^r ?
J k’I^^"
m— l
—m4*dx
x7-
qui, appliquée aussi de proche en proche, cod duir
luira, soit à.
—2 Çx^^
1 procl
/dx /l — x’ >t arc sin x
/dx xf — x
dont la valeur est arc sin x, soit a qui est
lyT^x — O La quadrature du cercle étant impossible
L| !-J—Z 1^+C.
