QUAD
cupé par 80 livres de via. Un plébiscite, d’une date inconnue, que nous a transmis Festus, porte les prescriptions suivantes : « Comparativement aux poids dont le peuple a coutume de se servir en ce temps, que le quadranlal soit de 80 livres de vin, le congé de 10 livres de vin, etc.» Ex pondérions publicis, quitus hac tempestate populus œtiersolet, uti quadrantal viniocioginta pondo siet ; congius vmi deeem pondo siet, etc. Le quadrantal équivalait, par rapport aux mesures modernes, k îS’HoiZ. Use subdivisait en 2 urnes, 8 congés, 48 sextaires, 96 hémines, 192 quartaires, 384 acétabules, 576 cyathes et 2,304 ligules. Comparé aux mesures de capacité pour les matières sèches, le quadrantal égalait 3 fois le modius. La seule mesure de capacité plus grande que le quadranlal était le culeus, qui valait 20 fois le quadrantal et qui, comme celui-ci, s’employait pour évaluer les produits des vignobles. Ce qui liait le quadrantal aux mesures de longueur, c’est qu’il était le cube du pied, et de là même lui venait son nom. Priscien a dit dans son Poëme des poids et mesures : Pat longo il spatio latoque altoque notetur ; Antfulut ut par lit, quem claudit linea triplex. Quatuor et médium quadris cinyatur inane ; Âmphora fit cubus, quam ne violare liceret, Sacravere jovi Tarpcio in monte Quirites,
Le dernier vers fait allusion au quadrantal que l’on gardait avec grand soin comme type au Capitule, dans le temple de Jupiter, et qu’on nommait amphora ^apitolina. V. amphore.
Il a été fait de longues recherches pour savoir si les mesures de capacité romaines furerit primitivement mises en rapport avec les mesures de capacité grecques ; mais, quelle que soit l’opinion sur ce point, on doit reconnaître combien il existait de relations entre les unes et les autres, puisque, par la suite des temps, les deux systèmes ayant subsisté côte à cote, on les relia très-facilement. Dans ce rapprochement effectué pour favoriser les transactions de peuple & peuple, le quadrantal ou amphore roma’we égala les 2 tiers du métrète ou amphore attaque.
QUADRANTAL, ALE adj. (koua-dran-tal, û-le). Antiq.rom. Qui contient un quadrantal : Amphore quadrantale.
QUADRAT, ATE adj. (koua-dra, a-te — du lat. quarius, quatrième). Astrol. Quadrat aspect, Position de deux planètes éloignées l’une de l’autre" de 90° ou d’un quart de cercle.
— s. m. Typogr. Autre orthographe du mot
CADRAT.
QUADRAT (saint), en latin Qundrotua, évêque d’Athènes. Il vivait dans la première moitié du ne siècle de notre ère. On croit qu’il fut disciple de l’apôtre saint Jean. Il contribua beaucoup à la propagation de l’Evangile et succéda, comme évêque d’Athènes, à Publius, martyrisé en 125. L’empereur Adrien s’étant fait initier aux rnystères de Cérès Eleusine en 126, il s’ensuivit une nouvelle persécution contre les chrétiens. C’est alors que Quadrat comoosa une apologie du christianisme, qu’il présenta à Adrien pendant le séjour de ce prince à Athènes. Cetté apologie, qu’Eusèbo appelle un admirable monument des talents et de la pureté de la foi de l’auteur, contribua à faire cesser la persécution. Il n’en reste qu’un fragment, cité par Eusèbe et souvent reproduit.
QUADRATA, ancienne ville de la Pannonie Supérieure.
QUADRATiU, ancien bourg de la Gaule Cisalpine.
QUADRAT AIRE adj. (koua-dra-tè-re— bas lat. quadratarius ; de quadratus, carré). Se disait, au moyen âge, de l’art des incrustations en pierres dures, a l’imitation des mosaïques des anciens.
QUADRATEUR s. m. (koua-dra-teur — du lat. quadratus, carré). Celui qui cherche la quadrature du cercle.
QUADRAT1FÈRE adj. (koua-dra-ti-fè-redu lat. quadratus, carré ; fera, je porte). Miner. Qui a des facettes carrées.
QUADRATIN s. m. (ka-dra-tain). Typogr. Aune orthographe du mot cadratin.
QUADRATIQUE adj. (koua-dra-ti-ke — du lat. quadratus, carré). Mathém. Qui est relatif au carré. Equation quadrutique, Equation du second degré : Les équations quadratiques sont de deux espèces : les unes sont pures ou simples ; lesautres sont affectées. (DAlembert.)
— Miner. Qui est carré ou de forme à peu près carrée : Cristal à faces quadratiques.
QUADRATORISTE s. m. (koua-dra-to-riste — ital. quadratorista, même sens). B.-arts. Peintre qui fait des ornements à fresque.
QUADRATRICE s. f. (koua-dra-tri-se — du lat. quadratus, carré). Géom. Courbe inventée par les anciens pour parvenir a la quadrature approchée du cercle : La quadratricb de JJinostrate.
QUADRATURE s. f. (koua-dra-tu-re — du lat. quadratus, carré). Géom. Réduction géo-métrique de quelque figure curviligne à un carré équivalent en surface : La quadrature des courbes. La quadrature du cercle est un problème insoluble. (Acad.) Mettre la loi au-
XI il.
QUAD
dessus de l’homme est un problème en politique, que je compare à celui de la quadrature du cercle en géométrie. (J.-J. Rouss.)
— Fam. La quadrature du cercle, Problème insoluble : Empêchez les chiens d’aboyer, criat-il, la quadrature du cehcle est trouvée. (Laboulaye.)
— Astron. Aspect de deux astres éloignés l’un de l’autre d’un quart de cercle : Au premier et au troisième quartier, la lune est en quadrature avec la terre. (Acad.)
— B.-arts. Peinture k fresque. |] Peinture d’ornements d’architecture.
— Encycl. Géom. La quadrature d’une surface a pour objet l’évaluation de l’étendue de cette surface ; mais le problème peut être envisagé de deux manières différentes : on peut ou bien construire une surface plus simple que la surface proposée et ayant la même étendue, ou bien obtenir l’expression analytique de l’aire de cette surface. Ce qui se rapporte à la première question a été exposé au mot carrer ; nous ne nous occuperons ici que des quadratures analytiques.
Si l’on avait à carrer une aire plane terminée par des arcs de courbes différentes, en joignant par des lignes droites les points de rencontre consécutifs de ces ares, on décomposerait la surface proposée en celle d’un polygone inscrit et celles des segments compris entre les arcs des différentes courbes et leurs cordes respectives. Toute quadrature se ramène donc à celles de segments curvilignes.
Le plus souvent, la quadrature d’un segment de courbe compris entre un arc de cette courbe et sa corde est rendue plus simple par l’addition d’un trapèze compris entre deux parallèles menées des extrémités de la corde et une transversale quelconque. On choisit, en effet, toujours, pour carrer une courbe, lé système d’axes par rapport auquel son équation est la plus simple, et ce qu’on entend par carrer cette courbe, c’est la mesure du trapèze mixtiligne compris entre un arc quelconque de la courbe, les ordonnées des extrémités et l’axe des x. Lorsqu’on est parvenu à l’expression de cette mesure, un changement quelconque dans la direction des axes n’entraîne que l’addition ou la soustraction à l’aire primitivement calculée de parties triangulaires ou ayant la forme de trapèze.
Soit M, M. l’arc de la courbe proposée rapportée aux deux axes «as, oy, faisant entre eux un angle 0 ; soient (as, j/„), (x, y) les coordonnées des points M, et M et cherchons l’expre’ssion de l’aire M.P.PM. L’ordonnée y de la courbe est une fonction de l’abscisse x définie explicitement ou implicitement ; l’aire M„P, PM est donc aussi une fonction de x ; c’est cette fonction qu’il s’agit de trouver. Pour cela, imaginons que nous donnions à l’abscisse oP un accroissement PP’, l’aire cherchée prendra un accroissement correspondant MPP’M’, dont l’expression sera évidemment comprise entre
PP’sinG.MP et PP’sin 8, M’P’ ;
le rapport de l’accroissement de l’aire à l’accroissement de x sera donc compris entre
MP sin) et M’P’ sin 8 ;
mais si l’on fait tendre l’accroissement de x
vers zéro, M’P’ sin 8 tendra vers MP sin 0.
La dérivée de la fonction cherchée est donc
MP sin6 ou y sin 0 ;
par suite, cette fonction est représentée par
y sin idx ou sin 8 I ydx. x, t Jx,
Ainsi la quadrature d’une courbe se ramène à l’intégration de la fonction qui exprime l’ordonnée de cette courbe ; il est clair, par suite, que, pour que l’intégration puisse être tentée, il faut que l’ordonnée ait pu être exprimée en fonction explicite de l’abscisse.
La même intégrale qui fournit l’aire d’une courbe
/Ry) = 0
donne aussi celles de toutes ses conjuguées. V. ce mot.
L’identité des formules de quadrature de la courbe réelle et de la conjuguée dont les abscisses sont réelles par rapport aux axes choisis est en quelque sorte évidente ; car si l’on imagine que l’équation de la courbe résolue par rapport k y ait donné, entre autres valeurs
y = <t(x)±/wê),
la conjuguée, comprise dans les intervalles où *|>(a :) est négatif, étant représentée par
y = ?{a,)±/-*(*),
/»
•/j1.
QUAD
l’aire de cette conjuguée sera donnée par
l’intégrale
j[v{x}±ifâx)i/-idx,
qui se déduit de celle qui donne l’aire de la courbe réelle en remplaçant simplement
par 1.
L’intégrale
f[l{x)±fa(x)]dx,
prise entre des limites où ty(x) serait négatif et par conséquent relatif a la conjuguée à abscisses réelles, donnera, par sa partie réelle l’aire du diamètre de cette conjuguée qui correspond à ses cordes parallèles à 1 axe des y et, par sa partie imaginaire, l’aire comprise entre la conjuguée et son diamètre.
L’aire d’une conjuguée quelconque se tire tout aussi simplement de l’intégrale qui fournit l’aire de la courbe réelle.
La direction des ordonnées qui limitent le segment qu’on veut calculer étant toujours indifférente par elle-même, puisqu’un changement dans cette direction n’entraîne d’autre correction que celle de la différence entre deux aires triangulaires, nous ne nous occuperons, lorsqu’il s’agira d’une conjuguée quelconque, que de l’aire comprise entre 1 axe des z, un arc de cette conjuguée et deux de ses cordes réelles (on nomme ainsi les cordes parallèles à la direction qu’il faudrait donner a l’axe des y pour rendre réelles les abscisses de la conjuguée).
Le principe qui servira à ramener k une seule toutes les intégrations, en apparence différentes, qu’il faudrait effectuer pour carrer les différentes conjuguées d’une même courbe, résulte de la remarque suivante : une seule intégration effectuée par rapport à la courbe réelle rapportée k certains axes suffirait pour qu’on pût, par des transformations simples, former l’expression analytique de l’aire d’un segment de la même courbe rapportée à d’autres axes ; d’un autre côté, l’expression de l’aire de la courbe réelle rapfortée k des axes quelconques convient à aire de la conjuguée dont Jes abscisses sont alors réelles : une seule et même intégration doit donc suffire pour carrer le courbe réelle ét toutes ses conjuguées.
QUAD
481
Fig. 2-
Soit AB un arc de la courba réelle rapportée successivement aux axes ox, oy et ox*. oy’ ; l’airé k calculer sera PABQ ou P’ABQ’ et sera représentée par
sin TJXjVrfo :, ou par sin Vxjy’dx’,
ces intégrales étant prises entre les limites (a ?., P.), (»i, tfi) ou (i, , j/’)), (x, y) nui correspondent aux extrémités A et B de l’arc considéré ; la différence de ces deux intégrales est celle de3 aires des deux triangles QBQ’ et PAP’ qui ont pour mesures
sin Y’Y
V, V,
et — sin Y’Y
y.y’,
2 2
En remplaçant y’, et y par leurs valeurs en fonction de y, et y, tirées de la formule
y sin YX = y’ sin Y’X,
on obtient pour expression de cette différence
rx'ty’t rx>y%
sin Y’X / y’dx’ - sin YX f ydx
■î-^sfS^-^
ce qui donne
C^tSl’i.
sin Y’X / y’dx’ = sin YX / ydx
2 Sl’Y sin Y’X (Vi V >
Or, cette égalité, qui subsiste toujours vraie quels que soient œ„ y„ #, yt réels, est une identité absolue. La fonction analytique qui représente l’aire d’une conjuguée quelconque comprise entre des cordes réelles partant de deux de ses points (x„ y„], [x„ y, ] est donc
r /^y» 1 sin Y’Y,
ou, en remplaçant
sin Y’X
sin Y’Y ■ par la caractéristique C,
La pnrtie réelle de cette expression représente l’aire du diamètre de la conjuguée qui divise-en parties égales ses cordes réelles, et
la partie imaginaire, l’aire comprise entre la conjuguée et son diamètre. Lorsque les limites de l’intégrale corresftondent à des points où la conjuguée toucha a courbe réelle, la partie complémentaire
If.*-*.’
sinYX*
2C
est réelle et représente alors effectivement la différence des deux triangles, l’un ajouté, l’autre retranché au segment qui serait compris entre des parallèles au premier axe des y : de sorte que
sin YX
/ ydx,
dans ce cas, représente, par sa partie imaginaire, l’aire fermée comprise entre la conjuguée et le diamètre qui divise en parties égales ses cordes réelles, et, par sa partie réelle, l’aire comprise entre le diamètre, l’axe des x et les deux ordonnées x = x, et x = xt. V. intégrales prises entre des limites imaginaires et périodes des intégrales.
— Quadrature des surfaces courbes. La orojection sur le plan des xy d’un élément d une surface courbe
f(x, y, *)=* »
est, en supposant les axes rectangulaires, représentée par
« dx.dy ;
l’élément lui-même l’est donc par le quotient de dx. dy par le cosinus de l’angle que te plan tangent au point (x, y, z) fait avec le plan des xy (v. projection) ; ce cosinus est, comme on sait,
dl d :
V(ë)’+(1)"+©"
V’i+p’ + q en désignant par p et q les dérivées partielles de z par rapport k x et à y. L’expression de l’aire d’un élément de la surface est donc
dxdyi/l+p’ + Q*.
L’intégrale de cette expression, prise par rapport k y, en considérant x comme une constante, donnera l’aire d’une bande comprise entre deux plans parallèles aux y : et séparés par la distance dx ; l’intégrale prise par rapport à a ; de l’expression trouvée donnera ensuite l’aire d’une portion finie de la surface courbe. Ainsi cette aire est représentée par l’intégrale double
J’ctoJ’efy /l 4-p’ + q’.
Si les limites sont constantes, l’aire calculée aura pour projection, sur le plan des xy, un rectangle ; si, dans l’intégration par rapport a y, on suppose aux limites
y = <p(a :)db«Kaj),
l’intégrale donnera l’aire projetée sur le plan des xy entre les deux courbes
y = ?(*) — !(*) -et y = 9(1) + $(x).
— Quadratures approchées. Nous supposerons dans ce qui va suivre que les coordonnées sont rectangulaires : APQB étant l’aire à évaluer, on commencera toujours par diviser la base PQ en parties égales et par mesurer lesordonnées y„ y, yt, ..., yn — i, yn élevéesauxpointsextrêinéset-auxpointsdedivision ; cela fuit, on pourra d’abord substituer à l’aire cherchée la somme des trapèzes compris respectivement entre deux ■ ordonnées
o P
Fig. 3.
?(•-*£*)•
consécutives, la corde qui joindrait leurs extrémités sur la courbe et l’axe des x. Les aires de ces trapèzes seront, en commençant par celui de gauche,
PQy.+Vi PQy.+is PQ yn-, + yn.
n % ’ n i "’"' n 2 ’
l’aire cherchée sera donc
lfr + yn) 2
S désignant la somme de toutes les ordonnées.
La méthode de Thomas Simpson donne un résultat plus approché. Elle consiste à substituer k l’arc de la courbe formé de deux divisions consécutives obtenues au moyen des ordonnées dont on a parlé plus haut, un arc de parabole du second degré ayant &n< axe parallèle aux y. Considérons, par exemple, l’are compris entre les ordonnées y, et
61
