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réels ou imaginaires, les propriétés essentielles de la fonction restent les mêmes dans les deux, cas ; on pourra donc, dans la recherche de ces propriétés, admettre la première hypothèse, La courbe dont s est l’aire a pour équation 1
y ^ — —.
ff/(l — xl)[ — k’x')’ g et k étant supposés réels, cette courbe a la forme BAB"B’A’B'"DED’E’D"E"D"’E'" ; la conjuguée à abscisses réelles est
GHG’H’G"H"G’"H"’ et celle qui a ses ordonnées réelles est
FAF"F’A’F'". OBj et OC représentent respectivement 1 et r on t et 1, selon que k est plus petit’ou
plus grand que 1.
Nous désignerons souvent, dans ce qui va suivre, le radical par R.
L’intégrale « admet évidemment pour période réelle l’nire BAB"B’A’B'", c’est-à-dire, suivant que k est plus petit ou plus grand que 1,
"i- !" i
kdx
en'
et pour période imaginaire l’aire GKUG’K’H affectée du signe /— i ou
’,
, Çkdx dx
»- ! -pr OU 2 I —.
k
—L’alternative peut être complétementécartée ; car, dans la seconde hypothèse, on pourrait aux périodes
4 k± et 2 ^ J eu JL gK
substituer
zÇ ^ et 4pi ? 4 f£.
c’est-à-dire
Ainsi l’on pourra prendre, dans le3 deux cas, pour périodes A { dx., r " dx
v = 4 — et »’ = ! •—,
et, quel que soit s, on aura
(î) ~k(s, g, A) = X($ -r-mio + W, g, k),
m et n désignant des nombres entiers quelconques.
C’est, au reste, la période w qui se réduit à 2tc lorsque la fonction 1 se réduit à sin gs.
La fonction X est impaire, c’est-à-dire que
(2) Hs, g, k) = -H-s, g, k)i
en effet x et s changent en même temps de signes sans changer de valeurs.
x et s partent en même temps de zéro ; parconséquent
7.(0, g, k) = o ou plus généralement
(3) X(»iu + nu’, g, k) = o.
Pour trouver les autres valeurs de s qui annulent X, on remarquera que, si le point xy suit le chemin ABB’A’, l’intégrale aura cru
u
de -, x étant redevenu nul. 2
Il en résulte que
i(£, a, aj = o,
et par conséquent
(*) ■ l(jî :+ " !<" + «"’, g, AJ = o ;
les trois formules précédentes sont les analogues de
sin (2kit + s) = sin s, sin (— s) = —sin s,
sin Zk-z = o, sin (2A + i)s = o.
Si le point xy suit successivement les deux chemins AM et AMBB’A’M", les deux valeurs de l’intégrale diffèrent de - et n a seu 2 lement changé de signe ; par conséquent
>Q- + s, ff, AJ =— ï.(s, g, k) ;
cette formule est l’analogue de
sin (n + s) = — sin s. Plus généralement
<5) X(J + mu + ""’ + *> ff, *)
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Si le point xy suit successivement les deux chemins AM et AMBB’M’, les deux valeurs
de l’intégrale forment une somme égale k -
et les x sont égaux j par conséquent
cette formule est l’analogue de sin (u — s) — sin s. Plus généralement
(6) l( !-f-mu + m»’— *, 0, A J
= X(s, j7, A).
Pour terminer ce qui concerne la période u, il reste à remarquer que si le point xy est arw
rivé en B de manière que s soit égal à - et
que l’on augmente s ou qu’on le diminue d’une même quantité, aire B’M’M, B, ou BMJI, B, x dans les deux cas prend la même valeur. Il
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en est de même si le point xy est arrivé en B"’. Il en résulte
et
(8) x(j- + «, ?, *)=a(j «-*, ?, *).
Ces formules sont les analogues de
sin(i+s) = sin(î i)
et ( ?+*)= sin ( ?—)•
Le double de la période imaginaire u’ se retrouve dans l’aire FF"F"’F' île la conjuguée à ordonnées réelles, affectée du signe
^ — 1, c’est-à-dire que — = / — i aire AFOa ;.
L’équation
donne
ff/(l— x’)(l — A’x1}
/ 2&
V 1 + A» d=J(ï + *•)• + 4*(JL-l)
l’abscisse de la branche A F est
■ 1 est positif ;
11.
V etmit moindre que -, -r-r
g o y
x est donc imaginaire sans partie réelle et il en est de même de dx- l’aire AOFœ ou
= IVxdy
2 X
v/—, —^L-,
V 1 + A=-y/(. + ^) + ^(-i, -1)
i., .
on pose x — —., il vient kx'
xi — dx'
est donc aussi représentée par = | y dx.
Ainsi
l’aire réelle et finie 4DECa ; est une autre figure de la période m ; par conséquent, si le point ary suit le chemin AMBHKGDE, s prend
01 bif
la valeur - -)—, c’est-à-dire que
2 2 ^
j ydx
a aussi pour valeur - -— ou que
(10)
toutes les valeurs de s qui rendent X infini sont donc
et
■ + »iu + 1w’
2 + J +" mu + ""’•
Il y a une remarque importante à faire sur les valeurs de i qui rendent X nul ou infini. Celles du premier genre sont :
a = ma + nw’,
b = - -f- m
J^ gv’(l — x")(i-k’x^)
+ f ~dx'
«^o g/(i-x :’){ — ie, xn)’
mais
r°— dx> = ç’d£ ■» ^/ Jm gll ~ J0 gli = 2 + 2 ’
c’est la valeur que prend l’intégrale quand a : croit par valeurs réelles jusqu’à « ; par conséquent, si l’on avait posé s = s’ A- " + ~ en
2 2
même temps que x = r-, on aurait trouvé
« = f -«*
J0 gV(i — x") (i - k’-x»)’
c’est-à-dire que
x’ = — l[s’g, k) ou
1 n u’
ou enfin
mais on a trouvé plus haut
»(| - *, s, AJ = H*, g, k),
Us, g, k) ;
H* — g» ff. *) =
par conséquent
w u’.v ■ w’
k[s, g, k)’
c’est-à-dire enfin
X(i, o, k) =.
La fonction X est bien déterminée, c’est-à-dire qu’elle n’a qu’une seule valeur pour chaque valeur de s. Cela tient à ce que, toutes les conjuguées de la courbe yx étant fermées, à l’exception de celles qui sont tracées sur la figure, mais dont les aires sont finies, les deux parties réelle et imaginaire de s ne peuvent respectivement dépasser m et w’ que par l’accumulation des périodes, il en résulte que si l’on donne à s une valeur A + B v*— i, on peut, en en retranchant ou y ajoutant les deux périodes, en nombres convenables, le réduire à une valeur * = a + b /— l, dans laquelle a et ô soient par exemple positifs et respectivement moindres que m et <»’. Si alors b est nul, le point y appartient nécessaire PERI
ment à l’une des branches BAB" ou B’A’B"’, car s’il était placé sur l’un des arcs
DE, D’E’, D"E", D"’E'",
«’ s aurait pour partie imaginaire i :— ; le point
y est d’ailleurs tel que M, ou M’, ou M", ou
. Cl
M"’, suivant que a est moindre que -, compris entre - et. entre - et 3-, ou enfin
- 2 2 4
entre 3- et ». Si a est nul, le point yX appartient à l’un des arcs F"AF, F’A’K'" ; il se trouve d’ailleurs sur AF, ou sur F’A’, suivant
que o est moindre que —, ou compris entre
u’
— et u’. Pour qu’on pût le placer sur A’F’r
ou sur F"A, i ! faudrait qu’on eiit réd.uit B à être lentement moindre que 2«’ ; alors le point y serait sur A’F"’, si b était compris
3 entre u’ et -a’, et sur F"A si b était compris 2 3 entre - a’ et 2mr. 2
La courbe yX ou yx étant du sixième degré, puisqu’on peut l’écrire
g’y’(l— a>')(i— k’xt) = 1, ■ il en résulte que tes conjuguées dont la caractéristique est négative forment deux anneaux dont l’un est compris entre les branches DE et A’B’, et l’autre entre AB" et D"’E'". Les conjuguées dont la caractéristique est positive.sont bu contraire comprises entre AB et D’E’ d’une part, A’B’" et D"E" de l’autre. C’est l’aire, affectée du signe /— 1, de l’un de ces anneaux qui est u’.
Cela posé, l’anneau auquel appartiendra le point yX touchera AB, ou B’A’, ou A’B’", ou
B"A, suivant que a sera moindre que -, compris entre - et -, ou entre 3- et -, ou enfin 4 2 2 4’
ai
entre 3- et u. D’ailleurs, ce point yl se trouvera sur le premier, le second, le troisième ou le quatrième quadrant de l’anneau, suivant que b sera moindre que —, compris
fc/ oi’ «’ ta’ rt
entre — et —, entre — et 3—, ou enfin en-4 2 2 4
w’
tre3— et <»’. La position de ce point sera
déterminée dans tous les cas.
La fonction X dont nous venons de nous occuper est la fonction mère des fonctions périodiques ; ses composées les plus simples sont
= ±t/i— k-V,
l» = ±V’l — X’ et
qui ne sont autres que des fonctions X de paramétres et de modules différents. En effet, ds dsd l — n
dp. ~ ddv.~ sl/(, „ v) (l — k>V) ~k■’ si l’on élimine X, il vient
ds ^ ^£1
d* /(l-ix’J (1-A> (i-*’))
= =F*
Wr^y/u-t^i-p^)
de même
=pdy-
•T^yÂi-i^i-jF^)
ds ds d
S = Sï(£’
ds
d* g/l — X’)(t — & !X’) A’x’ ou, en éliminant X,
— clv’
gk
, . /l-v’A’ —l +, ■ V k’ A»
=F»
tf/F^y/U-v’^l-j-LlT) ou
/ 3=rfv /F-^iy/(1-ï’)(i-ri-i ; v.)
Les fonctions y. et v ne sont donc que des fonctions X de la même variable s, augmentée d’une constante, ayant respectivement pour paramètres g/i — k7 et g ^k* — 1 et pour modules V^A’—l et /l —k’.
Ces deux fonctions ne seraient pas complètement définies par ce qui précède, puisque chacune d’elles serait affectée du double signe. Cela tient à ce qu’elles ne devaient pas être définies par rapport à X, mais par
