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LOGA
— Calcul des logarithmes népériens. La première dérivée de loge (l+x) est —- (v. déhivke), ou
1 — X + X* — X1 + JE* —......
En intégrant, .on trouve
loge (1 + x) = L(i + x)
a ? a ?* x*
2 3 4 ’
développement que l’on peut aussi obtenir par le théorème de Taylor. Cette série n’est convergente que dans les limites x = — l et x = + 1 ; elle converge d’ailleurs assez peu rapidement. Pour en obtenir une plus com LOGA
mode, on remplace d’abord x par —x, ce qui donne
x’ x’ xi L(l-«) = -*———-... ;
en retranchant les deux, équations membre à membre, il vient alors
L(l-M) — L(l —x) =L-’
/ x’ x’ , A Si maintenant on. pose
1-
d’où
2N + 1’ il vient, en substituant,
L«±-1=L(N +,)-LN = 2[iïï-lrr +
3<2N+l)* 5(2N
on
+ s
Ier-1-
| 2N + 1
L(N + l) = LN 1
+ :
— ]■
3(2N+l)’
Cette formule, très-convergente, dès que N est un peu grand, sert à passer du logarithme de N à celui ! de N + 1, et, par conséquent, à calculer successivement les logarithmes népériens de tous les nombres entiers. Ces logarithmes étant obtenus, on en déduit ensuite ceux d’un autre système quelconque en les multipliant par le module de ce système.
— évaluation de l’erreur commise dans l’interpolation qu’exige l’usage des tables. Si, dans
1 -1- x la formule qui donne L—, on pose
d’où
1 + x
T^x'
X
N + A
r+v
il vient, en substituant,
L(N + A) = LN
« I t[ h I h" 1
et en multipliant les deux membres par le module M du système des logarithmes vulgaires
log (N + A) = log N
+gMr *-+ A’ +
T | 2N + AT3(2N + A)’T
d’un autre côté, on tire de la même manière d’une des équations précédentes log (N + 1) = log N
La quantité à ajouter à logN pour avoir log (N + A) est donc
if * i »’ I 1
L«N -M 3(SN + A)’ ^ "’"J’
...],
—]’
tandis que celle qu’on y ajoute, en faisant l’interpolation, est
A[log(N-|-l)-IogN] ou
2M
r A A "1
L2N + 1 + 3(2N +1)* " ]’
la difiërence, qui est l’erreur commise, peut être considérée comme se réduisant à
2M ISn+â ~ iNTi] ou
2M
h 2N-
h(i-h) (2N + 1)"
lorsque N est plus grand que 10,000. Or, le maximum de cette erreur correspond à
A = - et est exprimé par
M l
2 (2N + if' Si N = 10,000, cette quantité est moindre que
l
0,22.,
’ 400000000
ou à peu près
2M
2000000000’ elle ne peut donc pas influer sur le septième chiffre décimal du logarithme cherché.
Nous avons admis dans ce qui précède que la limite vers laquelle tend l’expression
/ i m
I 1 -j), lorsque m tend vers l’infini, limite qui est la base e du système des logarithmes népériens, se confond avec la valeur de la série convergente
Le théorème sur lequel on s’appuie pour calculer par approximation la valeur de e s’établit de la manière suivante :
Supposons d’abord m entier et positif, le développement par la formule du binôme donnera dans ce cas
- = lim î + m-L
m
+
m[m— l) l HT m*
+
m(m — l)(m — 2)
1. 2. 3
w
e = lim 1+ !+ : ziti}H)+...],
L 1 1.2 1.2.3 J’
ou, en faisant m infini,
^1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
+...
La limite resterait évidemment la même si l’on faisait croître «i par valeurs fractionnaires ; car la fonction
(- ;)*
est continue.
Enfin, pour avoir la limite vers laquelle tendrait la même expression lorsque m croîtrait indéfiniment, par valeurs négatives, il suffira de transformations bien simples :
(l a~’t=ï)"
—(■+^r’*(’+^) Or
m— ii» — 1
tend vers la série
1+ï+ïïi+-’
et quant à
1 + :
il tend vers 1. L’expression proposée a donc toujours pour valeur celle de la série.
Le nombre e est compris entre 2 et 3 ; car la suite
Ï7i l.2.3 + ’" donne une somme moindre que la progrèssion par quotient
2 + 2, + 2. + -.
dont la valeur est l.
Le nombre e est incommensurable en effet, supposons qu’il pût être exprimé par
V une fraction -, on aurait donc
mais, en multipliant les deux membres par 1. 2. 3.... g, et faisant passer dans le premier la partie entière du second, on en conclurait que la partie restante dans le second membre
9+1 ( ? + !)( ?+2) devrait être un nombre entier ; or elle est évidemment moindre que 1.
— Logarithmes des nombres négatifs et imaginaires. Nous n’avons jusqu’ici donné d’autre définition du logarithme d’un nombre que celle qui se tire de la considération de la fonction inverse, supposée connue. Pour nous, jusqu’ici y = loga x signifie x=av ; si l’on attribue à y toutes les valeurs réelles de — » à + «, x prend des valeurs réelles correspondantes bien définies ; inversement, à
LOGA
ces valeurs de x correspondent celles de y qui les ont fournies, et ces valeurs de y sont les logarithmes des valeurs de x. Cette manière indirecte de définir une fonction par son inverse ne présente aucun inconvénient lorsque la fonction inverse est bien définie ; mais la fonction exponentielle ne l’est effectivement que pour les valeurs réelles de l’exposant ; aussi la conception des logarithmes des nombres négatifs, et à plus forte raison celle des logarithmes des nombres imaginaires, a-t-elle été entourée d’abord de difficultés considérables. On sait que la question même de savoir si le logarithme d’un nombre négatif est réel ou imaginaire a donné Heu à une longue discussion entre Euler et d’Alembwt. Euler a provisoirement tranché la question pour le cas où l’exposant serait imaginaire, en proposant de prendre dans tous les cas pour valeur de la fonction ex, celle que lui attribuerait la série toujours convergente
, x x», g’ a’
1 + r+172 + ÏT273+1.2. 3.4 "’"•••’ dont on avait démontré l’identité avec e lorsque x était réel. L’équation y = ex ne devait plus dès lors avoir d autre sens que
!/= !+’
1.2 1.2.3
+ ■
Cette équation liait x ix y et x était le logarithme de y.
Les idées d’Euler furent adoptées, comme cela devait être ; toute discussion cessa en effet. Cependant un pas important restait à faire ; en effet, toute fonction quelconque doit toujours, pour devenir utile, être définie de deux manières, physiquement et analytiquement. C’est à cette condition seulement qu’elle pourra être employée à formuler les lois des phénomènes, but constant de l’analyse. Si une fonction n’est connue que d’une façon abstraite, l’analyste pourra bien s’en servir lorsqu’elle se présentera d’ellemême à la suite de transformations de calcul ; mais le géomètre ne pourra, pas l’apercevoir dans les relations sur lesquelles il méditera ; il ne pourra pas s’en servir pour traduire ces relations. La définition du logarithme d’un nombre imaginaire, telle qu’elle ressort de l’idée d’Euler, est évidemment imparfaite sous ce rapport : les bases de la théorie des fonctions exponentielles et logarithmiques, comme celles de la théorie des fonctions circulaires, doivent donc être renversées aujourd’hui. La définition complète de ces fonctions résultera dorénavant de la considération des intégrales définies, qui aujourd’hui peuvent être nettement conçues pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable.
Le logarithme népérien de x est la somme des éléments de l’intégrale
r
dx
de même l’arc dont le sinus est x est la somme des éléments de l’intégrale
J0 Jï-X'
Ces intégrales sont complètement définies au point de vue abstrait dès que l’on connaît la suite des valeurs par lesquelles la variable x a passé de l’une à l’autre de ses valeurs limites, et, d’un autre côté, elles représentent les aires de courbes bien définies. Si x est positif,
r*
est l’aire du segment de l’hyperbole xy = l compris entre la courbe, l’axe des x et les deux ordonnées menées aux distances 1 et a ; de l’origine. Si ar est négatif,
"dx
r*
p
dx x
LOGA
Dans chaque cas, l’intégrale peut être augmentée ou diminuée d’un multiple quelconque de l’aire intérieure, affectée du signe y/— î, de l’une quelconque des conjuguées de l’hyperbole. L’ordre de ce multiple dépend de la marche qu’a suivie x pour aller de l’une de ses valeurs limites à l’autre.
Le cercle conjugué de l’hyperbole ij-la pour rayon fî ; l’aire de ce cercle est donc 2it : c’est l’aire d’une quelconque des ellipses conjuguées de la même hyperbole ; la quantité qu’on peut ajouter au logarithme d’un nombre quelconque, réel ou imaginaire, e3t donc
k désignant un nombre entier.
Dans cette nouvelle théorie, c’est la fonction j/ = L.a ; qui se trouve définie directement ; la fonction exponentielle a ; = ev l’est par suite indirectement. Si d’ailleurs on veut retrouver la définition d’Euler, rien ne sera plus facile. En effet, l’équation
se compose de l’aire du segment de la même hyperbole compris entre la courbe, l’axe des x, l’ordonnée menée à la distance 1 de l’origine et une ordonnée menée à une distance positive a, qui reste arbitraire, de l’aire imatinaire prise positivement ou négativement e la demi-ellipse, conjuguée de 1 hyperbole, qui la touche aux points x = a, x = —a, enfin de l’aire du segment de la même hyperbole compris entre la courbe, l’axo des x et les deux ordonnées menées aux distances négatives — a et a ; de l’origine. Enfin, si x est imaginaire,
se compose de l’aire du segment de l’hyperbole compris entre la courbe, l’axe> des x, l’ordonnée menée k la distance 1 de l’origine et celle du point de contact de la branche droite de l’hyperbole avec sa conjuguée elliptique a laquelle appartient le point (x, y], plus de l’aire du segment de cette conjuguée elliptique compris entre le point où elle ternche l’hyperbole et le point (x, yl.
V
—J>
, . dx
d ou — = x ;
donne
dy l
dx ~ x'
en dérivant de nouveau par rapport à y, il vient
d*x dx d’x dx
dy1 dy~X dij’~ dy D’ailleurs comme y = 0 et x = 1 se correspondent, il en résulte que les valeurs de dx d’x
etc.
etc.,
dy’ dy7’
se réduisent à l pour y =* 0 et que, par conséquent, d’après la formule de Maciaurin,
y’
1 ’ 1.2 2.3
+...
— Logarithmes considérés dans leurs relations avec les fonctions circulaires. Si dans l’équation
X, X1,
1 + 7 + ïïi+1.2.3.4
+..
on remplace x par x f — 1, il vient 6 1.2^1.2.3.4
+ v
1.2.3.4.5.6
x.
+. -(’-r
1 —
1.2.
+
J
2.3 1.2.3.
X"
4.5
■)•
et x
ï"
donc
1.2.3.4 X’
1.2.3 1.2.3.
4.5
= COS X
—... = sin x :
ex*’~'=cosa ; + f— l sin a ;.
En changeant x en —x, cette équation donne
„-*V-
COS X
-yf-i
sin x.
Les deux équations ensemble donnent
sin a ; = 2^—1
et
COS X = ■
Si l’on fait il vient
gXS'/-i+-xV-i
x = îkn,
par conséquent,
L.l = 2&nv’— 1 ; si l’on fait
X = (2/c + l) *, il en résulte
e(ik+t)rtf=i= 1.
c’est-à-dire que
L(-l) = (2/c+l)i=V’-l. On-avait déjà trouvé directement ee3 résult tats que l’on peut formuler d’une autre manière : si x désigne un nombre positif et que log a : désigne son logarithme népérien arithmétique, La ; étant réservé pour désigner le
logarithme algébrique,
>x = logex+ 2kv (/— l
et
L{— a ;) = loge x + (2k + ï)*/—1.
on tire des équations
ex *~i = cos x + /— i sin x
et
cos x — y’— l sin x, cos x + f—1 sin x
cos x-
l+V-
/— 1 sin x ■ l tang x
1 — f— 1 tang x
