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la numération écrite et qui n’ont rien de merveilleux, Avicenne sait tirer parti pour vérifier, par la preuve dite par 9, l’exactitude des opérations arithmétiques, addition, soustraction, multiplication et division. Au reste que l’on obtient, lorsqu’on retranche d’un nombre quelconque 9 ou un multiple de 9, il donne le nom de chiffre ou de nombre radical. Ce nombre simple, d’une seule figure, « est caché dans les autres, comme le noyau de la datte au milieu du fruit ; * il.représente parfaitement dans toutes leurs fonctions les nombres, quels qu’ils soient, "dont il est enveloppé. Par sa simplicité, U n’est plus susceptible d’erreur comme celui qu’il représente. Il mérite d’être nommé radical, parce qu’il est la racine réelle des autres et en rend maître, « comme on l’est d’un arbre, eût-il mille branches, quand on est maître de sa racirie, comme aussi dans une maladie on maîtrisé les symptômes les plus alarmants et les, plus compliqués quand on a connu et attaqué avec succès la cause latente de la maladie, et qu’on en a extirpé la racine, » Veut-on vérifier l’exactitude d une addition, il ’ faut prendre léchiffre radical de chacun des nombres additionnés, faire la somme de ces chiffres, radicaux, le chiffre radical de cette somme devra être égal au chiffre radical du total qbtenu par l’addition, si cette opération à été bien faite. S’il s’agit d’une soustraction, il faut prendre le chiffre radical du petit nombre, celui de la différence, faire la somme de, ces deux chiffres radicaux ; le chiffre radical de cette somme devra être égal au chiffre radical, du grand nombre, si la soustraction est exacte. S’agit-il d’une multiplication, on prendra le chiffré radical du multiplicande et celui du multiplicateur ; on multipliera l’un par l’autre ces deux chiffres radicaux ; le chiffre radical, de ce dernier produit sera égal au chiffre radical du produit obtenu par l’opération que l’on vérifié, si cette opération est irréprochable. Enfin, pour faire.la preuve d’une division, on extraira les chiffres radicaux du diviseur et du quotient, on multipliera ces deux chiffres radicaux l’un par l’autre, et le chiffre radical de ce produit sera égal au chiffre Arithmétique lognr[iliiuiqit« (Aritkmetica logarithmica), ouvrage publié à Londres eh 1624, par le mathématicien anglais Henri % Brigss, et qui a servi de modèle à toutes les tables de logarithmes qui ont paru depuis cette époque. On y trouve les logarithmes des nombres naturels depuis 1 jusqu’à 20,000^ et depuis 90,000’jusqu’à 100,000 ; ils y sont calculés avec quatorze décimales. Cette table est précédée d’unei savante introduction/où la théorie et l’usage des logarithmes sont amplement développés. Vlacq, libraire hollandais, donna en 1628 une traduction française de 1Arithmétique logarithmique, après y avoir rempli la lacune - laissée par Brigss, c’est-à-dire après avoir ajouté aux’ logarithmes que l’ouvrage contient, ceux des nombres compris entré 20,000 et 90,000.
Arithmétique univeraelle (Arilhmelica universalis), où De la composition et de la décomposition^ arithmétique, Titre d’un dés principaux ouvrages do Newton. Dans cet ouvragé, qui comprend ce que l’on appelle aujourd’hui 1 arithmétique, l’algèbre et. ï’application de l’algèbre à la géométrie, l’illustré géomètre expose la’science, du calcul telle quelle était alors connue, mais en l’enrichissant de méthodes qui lui sont propres. C’est ainsi qu’il réduit lés tâtonnements qù on faisait alors pour trouver les racines d’une équation. Il fait voir que, . dans le n’ombre des racines imaginaires, ilen" est qui doivent être classées parmi les racines positives, et d’autres parmi les négatives : règle d’où est sorti plus tard le théorème de Mac-Laurin. Il trouve les limites des racines d*t la ;
troisième et dû* quatrième degré par lu combinaison de la conchoïde avec la ligné droite et le cercle, etc. L1Arithmétique-universelle a’ été traduite du’ latin en français par Noël Beâudeux.
AritbmâliquB morale (ESSAI D’), .0Uvrage de
Buffon, . publié en.1777. L’auteur s’y propose pour objet de donner quelques règles ■ pour estimer les rapports de vraisemblance, les degrés de probabilité, le poids des témoignages, l’influence des hasards, l’inconvénient des risques, et juger en même temps de la valeur réelle de nos craintes et de nos espérances..» 11 commence par’distinguer.les différents ordres de certitudes. Il y a d’abord l’évidence proprement dite, qui appartient aux sciences mathématiques et n’appartient qu’à elles, et qui consiste dans la comparaison d’idées’identiques et’dans la perception de leur identité. Dans les sciences, physiques, ’ l’évidence est remplacée par la certitude ; l’évidence n’est pas susceptible démesure, la certitude peut être mesurée. Buffon appelle certitude physique celle qui est produite par une.suite constante d’observations qui font ce qu^on appelle l’expérience de tous les temps ;. cette certitude, qui est de toutes la plus certaine, n’est pourtant que la probabilité presque infinie qu’un effet, un événement qui n’a jamais manqué’d’arriver, arrivera encore une fois ; par exemple, puisque le soleil s’est toujours levé, il est dès lors physiquement certain qu’il sa lèvera demain. La certitude physique s’estime, se mesure par le nombre des observa 4RI
tions ; ï par exemple, si l’on veut réduire l’ancienneté de notre expérience à six. mille ans, le soleil s’est levé pour nous 2 millions
190,000 fois, et comme à dater du second jour qu’il s’est levé, les probabilités pour qu’il se lève le lendemain augmentent comme la suite, l, 2, 4, 8, 16, etc., ou2n-i, on aura, lorsque n sera devenu égal à 2190000, 2n 1 = 22189999, ce qui est déjà un nombre si prodigieux que nous ne pouvons nous en former une idée, et c’est par cette raison qu’on doit regarder la certitude physique comme composée d’une sourne immense de probabilités. > Aune très-grande distance de la certitude physique se place l’espèce de certitude qu’on peut déduire de la plupart des analogies ; ce n’est qu’une probabilité plus ou moins grande, et souvent si petite qu’elle nous laisse dans la perplexité. La certitude morale est une certitude de cette espèce ; elle semble tenir le milieu entre le doute et la certitude physique ; et ce milieu n’est pas un point, mais une ligne très-étendue, .et de laquelle il est bien difficile de déterminer les limites. Quel est le nombre de probabilités qui fait la certitude morale ? Voici comment Buffon est conduit à fixer ce nombre à 10000. Il cherche quelle est réellement la probabilité qu’un homme qui se porte bien, et qui, par conséquent, n’a nulle crainte de la mort, meure néanmoins dans les vingt-quatre heures. Il constate, par les tables de mortalité, que cette probabilité est de 1 dixmillième. Comme, en fait, personne ne s’inquiète le matin s’il mourra ce jour-là, il conclut qu’un dix-millième de probabilité ne doit faire aucune impression dans l’esprit de l’homme, et par conséquent que ce dix-millième doit être regardé comme un rien absolu ; qu’ainsi, dans tous les jeux, les paris, les risques, les hasards, dans tous les cas, en un mot, où
la probabilité est plus petite que, elle
doit être, et elle est en effet pour nous absolument nulle ; et par la même raison que dans tous les cas où cette probabilité est égale à
, elle fait pour nous la certitude morale
10000
la plus complète.
Un passage curieux de l’Arithmétique morale est celui où Buffon démontre mathématiquement l’immoralité du jeu. « Un joueur, dit-il, dont la fortune, esposée chaque jour aux coups de flasard, se mine peu à peu et se trouve enfin nécessairement détruite, n’attribue ses pertes qu’à ce même hasard qu’il accuse d’injustice... ; il n’imagine pas que cette aveugle puissance, la fortune du jeu, marche à la vérité d’un pas indifférent et incertain, mais qu’à chaque démarche, elle tend néanmoins à un but, et tire à un terme certain qui est la ruine de ceux qui la tentent ; il-ne voit pas que l’indifférence apparente qu’elle a pour le bien ou pour le mal.produit avec le temps la nécessité du mal ; qu’une longue suite de hasards est une chaîne fatale dont le prolongement amène le malheur... ; il ne sent pas que le jeu, par sa nature, est un contrat vicieux jusque dans son principe, un contrat nuisible à chaque contractant en particulier et contraire au bien de toute société... Je dis que le jeu est un pacte mal entendu, un contrat désavantageux aux deux parties, dont l’effet est de rendre la j>erte toujours plus grande que le gain. • Pour démontrer cette proposition, l’auteur de l’Arithmétique morale suppose que deux hommes de fortune égale, ayant, par exemple, chacun cent mille livres de bien, jouent en un ou plusieurs coups de dés cinquante mille livres, c’est-à-dire la moitié de leur bien ; il est facile de voir que celui qui gagne n’augmente son bien que d’un tiers, et que celui qui perd diminue le sien de moitié ; chacun d’eux avait cent mille livres avant le jeu, mais après l’événement du jeu, l’un aura cent cinquante millélivres, c’est-à-dire un tiers de plus qu’il, n’avait, et l’autre n’a plus que cinquante mille livres, c’est-à-dire moitié moins qu’il n’avait ; donc la perte est. d’une sixième partie plus grande que le gain, car telle est la différence entre le tiers et la moitié ; donc la convention est nuisible à tous deux, et par conséquent essentiellement vicieuse. Une telle convention, ressemble à celle que feraient les deux mêmes joueurs de jeter dans la mer chacun la douzième partie de son bien, car la perte étant nécessairement d’un sixième plus grande que le gain, ce sixième doit être regardé comme une perte réelle qui, pouvant tomber indifféremment sur l’un ou sur l’autre, doit par conséquent ê.tre partagée.
Un peu plus loin, Buffon montre, que la valeur de la perte ou du gain n’est pas proportionnelle à la quantité numérique d’argent perdue ou gagnée, ’ que l’argent est d’une bien plus grande valeur pour le pauvre, " pour l’homme qui n’a que le nécessaire, que pour le riche, pour l’homme qui, dans son état, abonde en superflu. Il est ainsi amené à définir le nécessaire et-le superflu. Le nécessaire, selon lui, est la dépense qu’on est obligé de ■ faire pour vivre comme l’on a toujours vécu ; le superflu est la dépense qui peut nous procurer des plaisirs nouveaux. La perte du nécessaire —1 perte qui se fait ressentir infiniment,
qu’on la suppose ; au contraire, la perte du superflu a des effets bornés ; et si, dans le superflu même, on est encore plus sensible à
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la perte qu’au gain, c’est que le gain est toujours et nécessairement moins grand que la perte, et qu’on a, sans s’en rendre compte, le sentiment de la différence réelle qui existe entre l’un et l’autre. Comment peut-on estimer d’une manière" précise la valeur morale de l’argent, c’est-à-dire la valeur de l’argent par rapport aux avantages qui en résultent ? Suivant Buffon, la progression de la valeur numérique de l’argent étant :
1,2,4,8,16,32,64, etc. la progression de sa valeur morale sera : , 81 7^9 6561
1, 9/5, —, —, , etc. ;
25 125 625 d’où il suit que deux mille livres ne produisent pas le double d’avantages de mille livres, mais ne forment, au point de vue de l’arithmétique morale, que les 9/5 de deux mille livres, c’est-à-dire dix-huit cents livres.
Une partie très-intéressante de l’ouvrage est consacrééà l’examen des mesures arithmétiques et géométriques, et des principes qui doivent présider à l’établissement de ces mesures. L’auteur compare les diverses échelles arithmétiques, "et montre les avantages qu’il y aurait à substituer à notre échelle décimale l’échelle duodécimale. Il déplore l’absence d’unité et de fixité dans les mesures géométriques. Il faudrait, selon lui, que les unités de mesures fussent quelque chose de constant et de commun à tous les peuples, et ce n’est que dans la nature qu’on pourrait trouver cette convenance générale. Buffon est ici le précurseur de la Révolution française. U propose pour étalon universel des mesures
Eéométrioues la longueur du pendule qui bat
- s secondes sous l’équateur. ■ Cette mesure,
une fois reçue, dit-il, fixe d’une manière invariable pour le présent, et détermine à jamais pour l’avenir la longueur de toutes les-autres mesurés. Pour peu qu’on se familiarise avec elle, l’incertitude et les embarras du commerce ne peuvent manquer de disparaître ; on pourra l’appliquer aux surfaces et aux solides de la même fa
de la terre autour de son axe, une variation dans la figuré du globe, son attraction diminuée par l’approche d’une comète, sont des causes trop éloignées pour qu’on doive en rien craindre, et sont cependant les seules qui pourraient altérer cette unité de la mesure universelle, La mesure des liquides n’embarrassera pas plus que celle des surfaces et des solides : la longueur du pendule sefa la jauge universelle... Nous préférons avec raison la longueur du pendule sous l’équateur, à la longueur du pendule en France ou dans un autre climat. On prévient par ce choix la jalousie des nations, et on met la postérité plus en état de retrouver aisément cette mesure. »
Arithmétique iudicnuo OU Lilnivnti, par
Bhascara Acharya, traité traduit ’du sanscrit en anglais par John Taylor (Bombay, 1816). Cet ouvrage, rapproché du Grand calcul, du moine Planude, qui n’en est qu’une sorte de développement, donne un état exact des connaissances mathématiques des Indiens jusqu’au xiic siècle de notre ère. Si l’on en croit l’assertion de plusieurs savants orientaux, ce titre original de Lilawati est le nom même de la fille de l’auteur. Le bon père aurait ainsi intitulé son livre pour la consoler de ce qu’il n’avait pu la marier, triste fiche de consolation qui dut faire soupirer souvent ces deux vers à la jeune fille : *
Le moindre petit mari Ferait bien mieux mon affaire.
La composition de cet ouvrage remonte entre l’an 1150 et 1160 de notre ère. U fut traduit en persan, en langue murwar, et probablement en d’autres langues dé l’Indoustan.
Ce traité, si l’on considère le temps où il a été écrit, présente un système d’arithmétique profond, régulier et bien lié. Il contient plusieurs propositions utiles de géométrie et de géodésie, et c’est le premier livre qu’étudient les astronomes ou plutôt les astrologues de l’Inde.
Les règles sont écrites en vers, d’un style concis et elliptique, dans lequel on trouve au plus haut degré cette obscurité qui est la marque caractéristique des ouvrages de science et de philosophie composés en sanscrit.
Les Indous opèrent sur un tableau de 33 centimètres de long sur 21 de large. Un fond blanc est formé avec une poussière crayeuse ; on le recouvre d’un sable rouge ; les chiffres sont tracés avec un style de bois qui. déplaçant le sable rouge, laisse voir le.fona blanc. En passant le doigt sur le sable rouge, on efface ce qui est écrit.
On fait l’addition en commençant par ladroite, comme dans notre système ; mais des procédés assez simples sont indiqués, si l’on veut commencer par la gauche. Ils n’ignorent pas la preuve par 9.
La soustraction s’effectue de deux manières, qui sont exposées dans Planude.
Au chapitre de la multiplication, on ne trouve point la table qu’on dit avoir été rapportée de l’Inde par Pythagore ; il est vrai que le livre n’était pas destiné aux enfants. Le texte donne cinq méthodes de multiplication, les commentaires en ajoutent deux autres.
On ne voit dans ce traité aucun signe pour
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indiquer la multiplication et l’addition, Un zéro placé au-dessus d’un nombre signifie qu’il faut le retrancher ; un zéro placé auprès d’une somme signifie qu’elle a été payée, et que la ligne est annulée ; c’est la manière des marchands marhattes. Point de barres pour séparer la somme d’avec les parties ajoutées, ou le reste d’avec la somme soustraite ; dans les fractions mêmes, on se contente de placer le numérateur au-dessus du dénominateur, sans aucun trait qui les sépare.
Jusqu’au jour où l’on aura découvert dans l’Orient des livres d’une antiquité plus reculée
?ue celle du Lilawati, il faudra laisser aux
ndous l’honneur d’avoir trouvé la notation arithmétique la plus simple et la plus commode qu’on pût imaginer, et confesser qu’à l’aide de cette invention merveilleuse, ils ont fait dans la science du calcul, au moins depuis sept cents ans, des progrès bien supérieurs à ceux d’aucun autre peuple 4e l’Asie. Les savants d’Europe sont persuadés que les Indiens n’entendent plus rien aujourd’hui aux démonstrations des règles qu’ils suivent dans leurs calculs ; on en conclut qu’ils n’en sont pas les inventeurs, ou que les mathématiques ont dégénéré chez eux, au point qu’ils n’ont plus aucune idée des principes fondamentaux de ces pratiques qu’ils ont reçues de leurs ancêtres.
Telle est la substance du discours préliminaire du traducteur. Le traité original commence par des tables de monnaies, des poids, des mesures de terre, des mesures de grains, de celles du temps, et des divisions du zodiaque. On trouve ensuite ce principe fondamental : Les nombres ont des valeurs croissant en proportion décuple, suivant la place qu’ils occupent. Après quoi ; l’auteur donne les noms indiens des 17 premières puissances de 10. Aux articles de l’addition et de la soustraction, on ne voit rien qui ne soit beaucoup plus détaillé dans le Traité de Planude.-A celui de la multiplication, on trouve quelques pratiques particulières ; on y décompose le multiplicateur en plusieurs parties. Pour les méthodes réelles, "ce sont celles de Planude, et conséquemment les nôtres. Pour la division, on réduit le dividende et le diviseur en les divisant par le facteur communj quand ils en ont un. L’extraction de la racine carrée se fait par le procédé de Théon, qui est aussi le nôtre.
Nous ne pouvons pousser plus loin cette analyse, qui deviendrait à son tour un traité d’arithmétique. Ce que nous venons de dire de l’ouvrage publié par M. Taylor suffit à donner une idée de la science du calcul chez les Indous.
Arithmétique dos Grecs, par Delambre, petit traité inséré dans l’Histoire de l’astronomie ancienne du même auteur (1817). On y trouve exposées avec une grande clarté, d’après les ouvrages que nous possédons d’Archimède, d’Eutocius, de Ptolémée", de Théon, de Pappus, la numération écrite des Grecs, et les méthodes suivant lesquelles ils exécutaient leurs opérations numériques, c’est-à-dire l’addition, la soustraction, la multiplication, là division et l’extraction de la racine carrée. Nous y apprenons que ces diverses opérations présentaient dans la numération grecque le même genre de difficultés que l’on rencontrait naguère dans le calcul des nombres complexes ; que pour désigner les quantités des ordres supérieurs, les Grecs se servaient de traits et de points qu’ils plaçaient au-dessous de leurs chiffres, au lieu que nous plaçons ces signes caractéristiques à la droite et vers le haut des nôtres ; qu’ils n’avaient pas besoin de ces signes, pour les unités, dizaines, centaines qui avaient des caractères propres (à, p, ■[, etc., pour les unités ; i, », X, etc., pour les dizaines ; p, », t, etc., pour les centaines) ; que le plus souvent ils faisaient leurs additions et leurs soustractions de gauche à • droite, ce qui les rendait nécessairement plus longues ; qu’ils allaient également de gauche à droite dans leurs multiplications, écrivant sans ordre les produits partiels, myriades, mille, centaines, dizaines, unités, fractions, ce qui n’avait d’autre inconvénient que de rendre l’addition finale plus, laborieuse ; que leurs divisions, dans lesquelles ils procédaient, comme nous, de gauche à droite, exigeaient qu’on fit des opérations partielles et subsidiaires, et ne pouvaient être effectuées sans de longs tâtonnements et de fréquents essais de quotient ; que leur manière d’extraire la racine carrée, ou, comme ils disaient, le côté d’un nombre carré, ne différait pas au fond de la nôtre, mais que les détails en étaient plus longs et plus incommodes. Ce qui est surtout curieux, et ce que Delambre fait bien saisir, c’est le développement que la numération grecque reçut dArchimède et d’Apollonius, développement qui permettait de résoudre d’une manière complète, dans un système défectueux, le problème de la représentation numérique, et qui était un pas marqué vers notre arithmétique de position.
ARITHMÉTIQUE adj. (a-ri-tmé-ti-ke). Qui est fondé sur l’arithmétique, qui est relatif à l’arithmétique : Opération arithmétique. Je vous admire de donner tant de soin aux belles-lettres, au milieu de vos occupations arithmétiques. (Volt.) Aux États-Unis, on n’estime les choses que suivant leur valeur arithmétique. (G. de Beaum.)
— Machine arithmétique, Instrument avec lequel on peut exécuter mécaniquement les
