y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient par l’intégration, des formules composées d’un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l’idée de transformer dans de semblables intégrales, les expressions compliquées de l’analyse, et les intégrales des équations aux différences. J’ai rempli cet objet par une méthode qui donne à la fois la fonction comprise sous le signe intégral, et les limites de l’intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées ; ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices dont elle est ainsi le complément. Il ne s’agissait plus ensuite que de réduire l’intégrale définie en série convergente. C’est ce que j’ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d’autant plus de rapidité, que la formule qu’elle représente est plus compliquée ; en sorte qu’il est d’autant plus exact, qu’il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre : quelquefois elle dépend d’autres transcendantes dont le nombre est infini.
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