sances x et x′ de t et de t′, sera une fonction des exposans ou indices x et x′ de ces puissances ; fonction que je nommerai fonction primitive, et dont V est la fonction génératrice.
Multiplions V par une fonction T des deux variables t et t′, développée, comme V, par rapport aux puissances et aux produits de ces variables ; le produit sera la fonction génératrice d’une dérivée de la fonction primitive : si T, par exemple, est égal à la variable t, plus à la variable t′ moins deux, cette dérivée sera la fonction primitive dont on diminue de l’unité l’indice x, plus cette même fonction primitive dont on diminue de l’unité l’indice x′, moins deux fois la fonction primitive. En désignant, quel que soit T, par la caractéristique δ placée devant la fonction primitive cette dérivée, le produit de V par la puissance n de T sera la fonction génératrice de la dérivée de la fonction primitive, devant laquelle on place la puissance n de la caractéristique δ. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d’une seule variable.
Supposons que la fonction indiquée par la caractéristique δ soit zéro ; on aura une équation aux différences partielles : si, par exemple, on fait, comme ci-dessus, T égal à la variable t,
