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pose la longitude du point $m'$ égale à $\varpi +d\varpi ,$ on aura

$\mathrm {A_{1}-A} ={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \varpi }}d\varpi \qquad {\text{et}}\qquad \mu _{1}-\mu ={\frac {\partial \mu }{\partial \varpi }}d\varpi \,;$

de plus, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$ comme cela est ici permis, $\mathrm {C}$ étant infiniment petit de l’ordre $\alpha ,$ on a $d\varphi =\sin \theta \,;$ l’équation $(\lambda ')$ deviendra donc

$(a')\qquad \qquad \qquad {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \varpi }}-{\frac {1}{2}}\mathrm {C} \sin \theta +{\frac {2}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \varpi }}=0\,;$

et les équations $(a)$ et $(a')$ ont lieu, quelle que soit la figure du sphéroïde, pourvu qu’il diffère infiniment peu de la sphère.

Supposons maintenant que le sphéroïde ait un mouvement de rotation et, de plus, que toutes ses parties soient animées par des forces quelconques, et déterminons les équations de l’équilibre. D’abord, il est clair que l’axe de rotation peut être censé passer par le centre de gravité du sphéroïde ; soit donc $\mathrm {AB}$ cet axe, $\mathrm {C}$ étant le centre de gravité de la masse entière ; soit encore $\alpha f$ la force centrifuge à l’équateur du sphéroïde, ou lorsque $\theta ={\frac {\pi }{2}}\,;$ cette force sera au point $\mathrm {M}$ égale à $\alpha f\sin \theta ,$ en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ et elle donnera, suivant l’élément $\mathrm {M} m$ du sphéroïde, une force égale à $\alpha f\sin \theta \cos \theta \,;$ cette même force, décomposée suivant l’élément $\mathrm {M} m',$ sera nulle et, décomposée suivant $\mathrm {MC} ,$ elle donnera une force égale à $-\alpha f\sin ^{2}\theta \,;$ je lui donne le signe $-,$ parce qu’elle agit en sens contraire de $\mathrm {MC} .$

L’action $\mathrm {A}$ du sphéroïde sur le point $\mathrm {M} ,$ décomposée suivant $\mathrm {M} m,$ donnera une force égale à $\mathrm {A} \cos \mathrm {CM} m\,;$ or on a

$\cos \mathrm {CM} m=-\alpha {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}\,;$

donc l’action $\mathrm {A}$ produira, suivant $\mathrm {M} m,$ une force égale à

$-\alpha \mathrm {A} {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}=-{\frac {4}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }},$

en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}.$ Cette même force $\mathrm {A} ,$ décom-