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mais l’intégrale doit se terminer lorsque $q=\pi \,;$ et, dans ce cas, on a $\theta '=\theta$ et $\varpi '=\varpi ,$ partant $\mu '=\mu \,;$ donc

$\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial \mu '}{\partial q}}dq=0,$

ce qui donne

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} +{\frac {2}{3}}\alpha \pi {\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}=0,$

équation analogue à celle que j’ai donnée pour les sphéroïdes de révolution, dans les Mémoires de l’Académie déjà cités, page 545^[1].

On aura, en suivant la même analyse, une équation à peu près semblable entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C} \,;$ mais, au lieu de recommencer les mêmes calculs, il est plus simple de tirer cette équation de l’équation $(a).$ Pour cela, considérons un point $m,$ infiniment voisin de $\mathrm {M} ,$ placé en même temps à la surface du sphéroïde et dans le plan $\mathrm {AMB} \,;$ si l’on fait $\mathrm {MC} m=d\theta ,$ et que l’on nomme $\mathrm {\sideset {^{1}}{}A}$ ce que devient $\mathrm {A}$ pour le point $m,$ et $\sideset {^{1}}{}\mu$ ce que devient $\mu$ pour le même point, on aura

${\frac {\mathrm {\sideset {^{1}}{}A-A} }{d\theta }}={\frac {\partial A}{\partial \theta }}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\sideset {^{1}}{}\mu -\mu }{d\theta }}={\frac {\partial \mu }{\partial \theta }}\,;$

l’équation $(a)$ devient conséquemment

$(\lambda )\qquad \qquad \qquad \mathrm {\sideset {^{1}}{}A-A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {B} d\theta +{\frac {2}{3}}\alpha \pi \left(\sideset {^{1}}{}\mu -\mu \right)=0.$

Imaginons par les points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {C}$ un plan $\mathrm {QMC} ,$ perpendiculaire au plan $\mathrm {AMB} ,$ et considérons un point $m',$ infiniment voisin de $\mathrm {M} ,$ placé en même temps à la surface du sphéroïde et dans le plan $\mathrm {QMC} \,;$ soit $d\varphi$ l’angle $\mathrm {MC} m',$ et soient $\mathrm {A} _{1}$ et $\mu _{1}$ ce que deviennent $\mathrm {A}$ et $\mu$ au point $m'\,;$ il est clair que, par la même raison que l’équation $(\lambda )$ a lieu, celle-ci

$(\lambda ')\qquad \qquad \qquad \mathrm {A_{1}-A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {C} d\varphi +{\frac {2}{3}}\alpha \pi \left(\mu _{1}-\mu \right)=0$

doit avoir lieu ; présentement, l’angle $m'\mathrm {CA}$ ne diffère de l’angle $\mathrm {MCA}$ que d’un infiniment petit du second ordre, en sorte que, si l’on sup-

1. Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 491.