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on a encore

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin pdpdq=2\pi \,;$

en faisant donc, pour plus de simplicité, $a=1,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {4}{3}}\pi -{\frac {2}{3}}\alpha \pi \mu +\alpha \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\mu '\sin pdpdq,\\\\\mathrm {B} =&\alpha \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p{\frac {\cos q}{\sin q}}(\mu -\mu ')dpdq=-\alpha \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p{\frac {\cos q}{\sin q}}\mu 'dpdq,\\\\\mathrm {C} =&\alpha \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos p}{\sin q}}(\mu '-\mu )dpdq={\frac {\cos p}{\sin q}}\mu 'dpdq\,;\end{aligned}}$

si l’on intègre l’expression de $\mathrm {B}$ par rapport à $p,$ on aura

$\mathrm {B} =\alpha \cos p\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos q}{\sin q}}(\mu '-\mu )dq-\alpha \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\cos p{\frac {\cos q}{\sin q}}{\frac {\partial \mu '}{\partial p}}dpdq,$

${\frac {\partial \mu '}{\partial p}}$ désignant le coefficient de $dp,$ dans la différentielle de $\mu '\,;$ or, $p$ étant supposé nul, on a $\varpi '=\varpi$ et $\theta '=\theta ,$ donc $\mu '=\mu .$ Les mêmes équations ont encore lieu lorsque $p=\pi \,;$ on a donc

$\alpha \cos p\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos q}{\sin q}}(\mu '-\mu )dq=0\,;$

partant,

$\mathrm {B} =-\alpha \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\cos p{\frac {\cos q}{\sin q}}{\frac {\partial \mu '}{\partial p}}dpdq\,;$

on a présentement

${\frac {\partial \mu '}{\partial p}}={\frac {\partial \mu '}{\partial \theta '}}{\frac {\partial \theta '}{\partial p}}+{\frac {\partial \mu '}{\partial \varpi '}}{\frac {\partial \varpi '}{\partial p}},$

et l’équation

$\cos \theta '=\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)$

donne, en faisant varier $\theta '$ et $p,$

$\sin \theta 'd\theta '=-4\sin p\cos p\sin q\sin(\theta -q)dp.$

Partant,

${\frac {\partial \theta '}{\partial p}}=-{\frac {4\sin p\cos p\sin q\sin(\theta -q)}{\sin \theta '}}\,;$