l’équation (V) donne ensuite, à l’origine de l’intégrale,
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}={\frac {\cfrac {\partial z}{\partial \varpi }}{2\theta }}-{\frac {b{\cfrac {\partial z}{\partial \varpi }}}{2\theta }}={\frac {\cos \theta }{2\theta }}-{\frac {\sin \theta }{4\theta ^{2}}}-{\frac {b\sin \theta }{4\theta ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbb376c672b6b29c45b9761138227bbab3e3f1b)
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {(b-1)\sin \theta }{4\theta ^{2}}}=z^{(2)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092b81134d3d68e3c0e5ab0d7909b6da5a6146d3)
or l’équation
![{\displaystyle z^{(2)}=(\varpi +\theta )^{-b}\psi (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069c72747b778d8c8b3c389c798c89fa764ff7d1)
donne, à l’origine de l’intégrale,
![{\displaystyle z^{(2)}=(2\theta )^{-b}\psi (\theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a067f41fd4a89535c1ecc351ea9f502a65d8093)
partant,
![{\displaystyle \psi (\theta )={\frac {(b-1)\sin \theta }{(2\theta )^{2-b}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98836ba15db7b9a30876b56c864f88c951e3b270)
Pour avoir maintenant
, on observera que l’équation
![{\displaystyle z^{(1)}={\frac {1}{\varpi +\theta }}\left[\varphi (\varpi )+\int (\varpi +\theta )^{1-b}\psi (\theta )d\theta \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8011b0530106f0ed9478b26e189d6509c5d2629)
donne à l’origine de l’intégrale, où
comme on vient de le voir,
![{\displaystyle \varphi (\varpi )=\int (\varpi +\theta )^{1-b}(1-b){\frac {\sin \theta d\theta }{(2\theta )^{2-b}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9d503e0616197edd37752d022e4ed8387c5a86)
on aura ainsi
en intégrant le second membre de cette équation et en changeant ensuite dans l’intégrale
en ![{\displaystyle \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f6611303e54eefbedd289cd48ca2ed16af127)
Il resterait présentement à donner des méthodes pour intégrer par approximation les équations aux différences partielles, et pour avoir leurs intégrales particulières, lorsque l’intégrale complète est impossible ; mais l’un et l’autre de ces deux objets exige des recherches très délicates, que la longueur déjà trop grande de ce Mémoire m’oblige de remettre à un autre temps.