XII.
Le raisonnement précédent peut s’appliquer encore au cas où l’expression de
renferme des termes nécessairement affectés du double signe
par rapport aux deux fonctions arbitraires
et
pour le faire voir d’une manière fort simple, ne considérons que la seule fonction arbitraire
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=&\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {D} '\int \mathrm {E} 'd\theta \int \mathrm {F} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25802b8b28f30ed657d683477fdc6f135ca1dfe0)
Supposons qu’il n’y ait qu’un seul terme affecté du double signe
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=&\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )} +\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots +\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8ab158045bd428d70ee3d54e86ffecfd379c57)
En substituant cette valeur de
dans l’équation (Z), on aura une équation de cette forme
(R)
|
|
|
Si la quantité
n’est pas nulle, en faisant
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {D} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+l\mathrm {D} }{{\cfrac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+m\mathrm {D} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8ef8909487ce912644b44bbb49f3d7d29bcdb9)