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ce qui ne peut avoir lieu ; maintenant, puisque l’on a

$0={\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B}$

et

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \theta }}+l\mathrm {B} ,$

il est clair que l’équation $z=\mathrm {B} \psi (\theta )$ satisfera à l’équation (Z), en sorte que l’expression de $z$ sera délivrée du signe $\int ,$ en n’ayant égard qu’à la fonction arbitraire $\psi (\theta ).$

Ce théorème important a également lieu, quel que soit le nombre des termes affectés du signe $\int \,;$ et, quoique nous n’en ayons considéré qu’un seul, cependant la démonstration précédente s’étend au cas d’un nombre indéfini de termes semblables ; mais, comme elle exige pour cela quelques artifices d’analyse assez délicats, je vais l’appliquer au cas dans lequel l’expression de $z$ renferme deux termes nécessairement affectés du signe $\int ,$ par rapportàla fonction arbitraire $\varphi (\varpi ).$

XI.

On aura pour lors

$z=\mathrm {A} \varphi (\varpi )+\mathrm {A} '\varphi _{1}(\varpi )+\mathrm {A} ''\varphi _{2}(\varpi )+\ldots$

$+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi \,;$

en substituant cette valeur de $z$ dans l’équation

(Z)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz,$

on aura une équation de cette forme

(F)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \theta }}+l\mathrm {B} \right)\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\left({\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} \right)\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {B} '\right)\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\left({\frac {\partial \mathrm {B} '}{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} '\right)\int {\frac {\partial \mathrm {C} '}{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {L} \varphi '(\varpi )+\mathrm {L} '\varphi (\varpi )+\mathrm {L} ''\varphi _{1}(\varpi )+\ldots \,;\end{aligned}}\right.$