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signe $\int ,$ on aura

${\begin{aligned}z=&\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots .\end{aligned}}$

S’il n’existe qu’un seul terme affecté du signe $\int ,$ en sorte que le terme $\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi$ et les suivants soient nuls, en substituant au lieu de $z$ cette valeur dans l’équation

(Z)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz,$

on aura une équation de cette forme

$(\gamma )\qquad \left\{{\begin{aligned}0=&\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \theta }}+l\mathrm {B} \right)\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi \\&+\left({\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} \right)\int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi \\&+\mathrm {L} \varphi '(\varpi )+\mathrm {L} '\varphi (\varpi )+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Si la quantité ${\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B}$ n’est pas nulle, en faisant

$\mathrm {K} ={\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\cfrac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n{\cfrac {\partial \mathrm {B} }{\partial \theta }}+l\mathrm {B} }{{\cfrac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} }},$

$\mathrm {M} ={\frac {-\mathrm {L} }{{\cfrac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} }},\qquad \mathrm {M} '={\frac {-\mathrm {L} '}{{\cfrac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}+n\mathrm {B} }},\qquad \ldots ,$

on aura

$(\lambda )\ \int {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {K} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi =\mathrm {M} \varphi '(\varpi )+\mathrm {M} '\varphi (\varpi )+\ldots .$

En différenciant cette équation par rapport à $\varpi ,$ on aura

${\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \theta }}\varphi (\varpi )+{\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {KC} \varphi (\varpi ))=\mathrm {M} \varphi ''(\varpi )+\left({\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial \varpi }}+\mathrm {M} '\right)\varphi '(\varpi )+\ldots .$

Si ${\frac {\partial \mathrm {K} }{\partial \varpi }}$ n’était pas nul, il est clair que $\int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi$ serait donné en