différences
![{\displaystyle {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}},\ \ \ldots ,\ \ {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}},\ \ \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7cfa04459f2db4ee351d6d18a5a1bcee59def92)
Considérons présentement un terme quelconque
![{\displaystyle \mathrm {H} {\frac {\partial ^{n}\varpi }{\partial y^{n}}}{\frac {\partial ^{n-\mu }\varpi }{\partial y^{n-\mu }}}\ldots {\frac {\partial ^{i}\theta }{\partial y^{i}}}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ef6b77afcf99a8eb1c891debff922e21cd0fc4)
de cette équation de condition que nous nommerons (K).
sera fonction de
et de
mais les équations (2) et (3), qui servent à déterminer
et
en
et
étant aux différences partielles du premier ordre, il est clair qu’on peut changer
dans une fonction quelconque arbitraire de
et
dans une fonction arbitraire de
que l’on change conséquemment
en
et
en
le terme
produira un de cette forme
\mathrm H
![{\displaystyle {\frac {\partial \varpi ^{q}}{\partial y^{q}}}{\frac {\partial \theta ^{q'}}{\partial y^{q'}}}\varphi ^{n}(\varpi )\varphi ^{n-\mu }(\varpi )\ldots \psi ^{i}(\theta )\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f856cb1cc455909a65016f9f9083ce2deb372933)
lequel doit être séparément égal à zéro, puisque les fonctions
et
sont arbitraires ; on aura donc
et, puisque
et
sont indépendants l’un de l’autre, l’équation
sera identique ; d’où il suit que l’équation de condition (K) doit être telle, que les coefficients de chaque terme y soient identiquement égaux à zéro. Si les intégrales des équations (4) et (5) sont possibles, mais qu’il soit impossible, par les procédés connus, d’en tirer
et
en fonctions de
et de
on aura facilement l’expression de
par les quadratures des courbes.
IX.
Pour éclaircir par un exemple la méthode de l’article VII, considérons l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+a{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+b{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+{\frac {c{\cfrac {\partial z}{\partial x}}}{hx+fy}}+{\frac {e{\cfrac {\partial z}{\partial y}}}{hx+fy}}+\mathrm {K} {\frac {z}{(hx+fy)^{2}}}+\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b79097e4fc77f9a6fa9926bedae482f96653cf6)
et
étant constants ; cette équation est d’autant plus