ticle précédent entre
et leurs différences prises par rapport à
et à
pour que la valeur de
considérée par rapport à l’une des deux fonctions arbitraires, par exemple
se termine après le deuxième terme ; il s’agit de savoir si cette équation a lieu, sans avoir
et
en fonctions de
et de
pour cela, on substituera dans les expressions précédentes de
et
au lieu de
et
leurs valeurs que donnent les équations (2) et (3) ; on aura ainsi
et
en fonctions de
![{\displaystyle x,\ \ y,\ \ {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}},\ \ {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75948a483bcd85db0e8e47dcd0ff8cdb06dac2fc)
et
![{\displaystyle \quad {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bc7ab058a6ee13c7041f9053f23cc2bbdea958)
mais l’équation
renfermant les différences de
et
prises par rapport à
et à
il faut connaître ces différences ; supposons conséquemment qu’il s’agisse d’avoir la valeur de
on différentiera l’expression de
par rapport à
et par rapport à
ce qui donnera
![{\displaystyle dm={\frac {\partial m}{\partial x}}dx+{\frac {\partial m}{\partial y}}dy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee28cc5fb1c351c1cc61385814aef62779fbab0e)
donc
![{\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial \varpi }}={\frac {\partial m}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial m}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2065d17909fe2d994ca46dbb25bb99334043c1c9)
on doit observer que les termes tels que
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{3}\varpi }{\partial y^{2}\partial x}},{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{3}\theta }{\partial y^{2}\partial x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb0676e404f79f7bb524d7cd1edf579b3ee9d75)
qui se rencontrent dans les quantités
et
peuvent être éliminés au moyen des équations (2) et (3), en sorte que ces quantités seront réduites à être fonctions de
![{\displaystyle x,\ \ y,\ \ {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}},\ \ {\frac {\partial ^{3}\varpi }{\partial y^{3}}},\ \ {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\ \ {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aacb1d8ea4d51a2deed927de0eb31e0e542064f0)
et
![{\displaystyle \ {\frac {\partial ^{3}\theta }{\partial y^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d75f8b5b2090667d20dbfed761623edd205365)
mais
étant supposé constant, on a
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \theta }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \theta }{\partial y}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0122295cd27447a493b96ce150c1863eb2bac8)