Soit
la valeur de
qui rend
un maximum, et par conséquent
nul ; la valeur de
qui rend
un maximum pourra donc être représentée par
étant un coefficient quelconque, et l’on aura
![{\displaystyle y'=y+\alpha h{\frac {dy}{dx}}+{\frac {\alpha ^{2}h^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}++{\frac {\alpha ^{3}h^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2116002b6ab8b6f7d3c321e1e8436a3fb5872c)
étant ce que deviennent ces quantités lorsqu’on y fait
on a ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}=&{\frac {1}{\alpha }}yz',\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=&y\left({\frac {1}{\alpha ^{2}}}z'^{2}+{\frac {1}{\alpha }}{\frac {dz'}{dx}}\right),\\{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=&y\left({\frac {1}{\alpha ^{3}}}z'^{3}+{\frac {3}{\alpha ^{2}}}z'{\frac {dz'}{dx}}+{\frac {1}{\alpha }}{\frac {d^{2}z'}{dx^{2}}}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a491e859908d610321d66426312691628a9ca53e)
La supposition de
donne
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha h{\frac {dy}{dx}}=&0,\\{\frac {\alpha ^{2}h^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=&{\frac {\alpha h^{2}}{1.2}}y{\frac {dz'}{dx}},\\{\frac {\alpha ^{3}h^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=&{\frac {\alpha ^{2}h^{3}}{1.2.3}}y{\frac {d^{2}z'}{dx^{2}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a135fcc0a82e23e88fd1df24e8249f8b8edc37e8)
on aura donc, en négligeant les termes multipliés par ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle y=y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8c1b61b40419c459b7cae4160d00a9ed7ce8de)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}=u'{\frac {d^{2}y'}{dx^{2}}}+{\frac {2du'dy'}{dxdx}}+y'{\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3122cfab13e5a2c3d7de91f7b6fab9e4781e65)
or il est visible, par ce qui précède, que
est beaucoup plus grand que
et que
en sorte que l’on peut supposer, à très peu près,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}=u'{\frac {d^{2}y'}{dx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721c8801772fcb81341e564455f730047b9cbfa3)