nateur, en sorte que, si l’on suppose
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {\mathrm {X(1-X)} \left[{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]}{(1+\mu )\left[{\cfrac {1}{\mathrm {X} ^{2}}}+{\cfrac {\mu }{(1-\mathrm {X} )^{2}}}+{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]}},,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92138bf6e52133610c53e122a03d13604d770e0)
on aura, à très peu près,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dz}{d\mathrm {X} }}\ \ \quad =&{\frac {\mathrm {F} }{\theta ^{2}}},\\{\frac {d(zdz)}{d\mathrm {X} ^{2}}}=&{\frac {3\mathrm {F} ^{2}}{\theta ^{4}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9334b54e56f956f4315a9e82bf8b0e96afe5b272)
partant
![{\displaystyle \int y'dx={\frac {\alpha y'\mathrm {F} }{\theta }}\left(1-{\frac {\alpha \mathrm {F} }{\theta ^{2}}}+{\frac {3\alpha ^{2}\mathrm {F} ^{2}}{\theta ^{4}}}-\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecbdf29cdd4120c6dd77bca3499a20264a994aa)
et
étant ce que deviennent ces quantités lorsqu’on y suppose
et
ce qui donne
![{\displaystyle y'\mathrm {F} ={\frac {(p+p')^{p+p'+{\frac {3}{2}}}(q+q')^{q+q'+{\frac {3}{2}}}}{(1+\mu )(p+p'+q+q')^{p+p'+q+q'+{\frac {7}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32981bba2c19293de34c1ef12e5d1976012e7117)
Il est aisé de voir par l’analyse de l’article XVIII que
est moindre que
plus grand que
et moindre que
en sorte que l’on a par ce moyen les limites dans lesquelles la valeur de
est resserrée.
Cherchons présentement la valeur de la double intégrale
![{\displaystyle \iint u^{p}(1-u)^{q}s^{p'}(1-s)^{q'}dsdu.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bbc6b4df92a297ad4ffe70ea6b2a7634f98eb7)
La formule
de l’article XXIII donne, à très peu près,
![{\displaystyle \int u^{p}(1-u)^{q}du={\sqrt {2\pi }}{\frac {u^{p+1}(1-u)^{q+1}}{\sqrt {\left[p(1-u)^{2}+qu^{2}\right]^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f47521499bc339ee17de6dbab503fa35415857)
en substituant pour
la valeur qui rend
un maximum ; or