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depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Celle du dénominateur doit être pris pour toutes les valeurs possibles de $x$ et de $u\,;$ or, si l’on fait $u-x=s,$ ce dénominateur deviendra

$\iint u^{p}(1-u)^{q}s^{p'}(1-s)^{q'}duds,$

la double intégrale étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1$ et depuis $s=0$ jusqu’à $s=1\,:$ on aura ainsi

$\mathrm {P} ={\frac {\iint u^{p}(1-u)^{q}(u-x)^{p'}(1-u+x)^{q'}dxdu}{\iint u^{p}(1-u)^{q}s^{p'}(1-s)^{q'}dsdu}}.$

Déterminons d’abord l’intégrale du numérateur.

En nommant $y$ la quantité

$u^{p}(1-u)^{q}(u-x)^{p'}(1-u+x)^{q'},$

on aura à très peu près, par la formule $(\mu )$ de l’article XXIII,

$\int ydu={\frac {{\sqrt {2\pi }}y^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {-{\cfrac {\partial ^{2}y}{\partial u^{2}}}}}},$

en substituant pour $u,$ dans le second membre de cette équation, sa valeur en $x,$ qui rend $y$ un maximum ; soit $\mathrm {X}$ cette valeur, on a

${\frac {\partial y}{\partial u}}=y\left({\frac {p}{u}}-{\frac {q}{1-u}}+{\frac {p'}{u-x}}-{\frac {q'}{1-u+x}}\right)$

et

${\begin{aligned}-{\frac {\partial ^{2}y}{\partial u^{2}}}=&y\left[{\frac {p}{u^{2}}}+{\frac {q}{(1-u)^{2}}}+{\frac {p'}{(u-x)^{2}}}+{\frac {q'}{(1-u+x)^{2}}}\right]\\&-{\frac {\partial y}{\partial u}}\left({\frac {p}{u}}-{\frac {q}{1-u}}+{\frac {p'}{u-x}}-{\frac {q'}{1-u+x}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on substitue $\mathrm {X}$ au lieu de $u,$ on a, par la condition du maximum ${\frac {\partial y}{\partial u}}=0,$

partant

$-{\frac {\partial ^{2}y}{\partial u^{2}}}=y\left[{\frac {p}{\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {q}{(1-\mathrm {X} )^{2}}}+{\frac {p'}{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\frac {q'}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right],$