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et ainsi de suite jusqu’à $z\,;$ l’expression de $z$ que l’on trouvera de cette manière, renfermant les deux constantes arbitraires $\varphi (\varpi )$ et $\varphi (\theta ),$ sera complète.

J’observerai ici que, si les coefficients $l,n,m$ étaient constants, on aurait

$\mu =l-nm\qquad m^{(1)}=m\qquad$et$\qquad l^{(1)}=\mu +mn=l\,;$

d’où il est facile de conclure que l’on aura généralement

$m^{(r-1)}=m\qquad$et$\qquad l^{(r-1)}=l\,;$

l’équation de condition trouvée ci-dessus donnera, dans ce cas,

$0=l-nm,$

et comme on a la même équation, en considérant la fonction arbitraire $\psi (\theta ),$ puisqu’il suffit alors de changer $n$ en $m,$ et réciproquement, il en résulte que, si cette équation n’est pas satisfaite, l’intégrale de l’équation proposée est impossible en termes finis, comme on le démontrera ci-après.

Je suppose maintenant que, dans l’équation

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz+\mathrm {T} ,$

$\mathrm {T}$ ne soit pas nul, on fera comme ci-dessus

$z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz,$

et l’on aura

$0={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+nz^{(1)}+z\left(l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm\right)+\mathrm {T} \,;$

soit

$l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm=\mu \,;$

donc

$0={\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {n}{\mu }}z^{(1)}+z+{\frac {\mathrm {T} }{w}}\,;$

si l’on différentie cette équation par rapport à $\theta ,$ que l’on ajoute à cette équation ainsi différenciée l’équation elle-même multipliée par $m,$ et