La formule
de l’article XXIII donnera donc
![{\displaystyle k={\frac {{\sqrt {2\alpha \pi }}\mu ^{q+{\frac {1}{2}}}}{(1+\mu )^{p+q+{\frac {3}{2}}}}}\left\{1+{\frac {\alpha [(1+\mu )^{2}-13\mu ]}{12\mu (1+\mu )}}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c636933af32b094aa08678cdf2cdd0768e0cc7ab)
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans l’article XVIII.
Si
ou, ce qui revient au même, si
on déterminera plus simplement de la manière suivante les coefficients de la série en
qui exprime la valeur de
pour cela, on observera que, dans ce cas,
![{\displaystyle \log \mathrm {A} -\log y=-{\frac {1}{\alpha }}\log \left(1-4\theta ^{2}\right)=t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c59609996266286e0f4b77321731dd97289e650)
ce qui donne
![{\displaystyle 1-4\theta ^{2}=e^{-\alpha t^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746d030d735a1b5598e7a58bdca9b6161ed9421)
et
![{\displaystyle 2\theta =\left(1-e^{-\alpha t^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c10c3c24179f60fdb1643c8be4a936b9bf2dee)
Soit
![{\displaystyle \left(1-e^{-\alpha t^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=2\alpha ^{\frac {1}{2}}t\left(l+l'\alpha t^{2}+l''\alpha ^{2}t^{4}+l'''\alpha ^{3}t^{6}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b872308c4b17456a5097a9d05a705165a1be0610)
en prenant les différentielles logarithmiques des deux membres de cette équation et multipliant en croix, on aura
![{\displaystyle \alpha t^{2}e^{-\alpha t^{2}}\left(l+l'\alpha t^{2}+l''\alpha ^{2}t^{4}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc34c00bf8a1823fb9442c7e3b74f1e98ef142f)
![{\displaystyle =\left(l+3l'\alpha t^{2}+5l''\alpha ^{2}t^{4}+\ldots \right)\left(1-e^{-\alpha t^{2}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a4f3fe2101a90c8bf0faa4d0c8f68fc00507eb)
or on a
![{\displaystyle e^{-\alpha t^{2}}=1-\alpha t^{2}+{\frac {\alpha ^{2}t^{4}}{1.2}}-{\frac {\alpha ^{3}t^{6}}{1.2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846d6ab739f2407195236bf719f81867814c9522)
Si l’on substitue cette valeur dans l’équation précédente, on aura entre les coefficients
les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}2l'+{\frac {l}{1.2}}=&0,\\4l''-{\frac {l'}{1.2}}-{\frac {2l}{1.2.3}}=&0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f29cb8e62b25e5fa3f7c5da23b0ca0019648d04)
et généralement
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=2il^{(i)}&-(2i-3){\frac {l^{(i-1)}}{1.2}}+(2i-6){\frac {l^{(i-2)}}{l.2.3}}\\&-(2i-9){\frac {l^{(i-3)}}{1.2.3.4}}+(2i-12){\frac {l^{(i-4)}}{1.2.3.4.5}}-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fa296d6069d114867a3a33a625ecd82b13eb6e)