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Supposons encore que l’on tire trois boules d’une urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires dans une proportion inconnue, et que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouent à cette condition que $\mathrm {A}$ gagnera la partie si sur ces trois boules il y a plus de blanches que de noires, et qu’il la perdra s’il y a plus de noires que de blanches. Supposons ensuite que, sur $p+q$ parties, $\mathrm {A}$ en ait gagné $p$ et perdu $q\,;$ cela posé, si l’on nomme $x$ la probabilité d’amener une boule blanche, on aura $x^{2}(3-2x)$ pour l’expression de la probabilité que $\mathrm {A}$ gagnera une partie, et $(1-x)^{2}(1+2x)$ pour la probabilité qu’il la perdra ; la probabilité de l’événement observé sera donc

${\frac {1.2.3\ldots (p+q)}{1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q}}x^{2p}(3-2x)^{p}(1-x)^{2q}(1+2x)^{q}\,;$

dans ce cas,

$y=x^{2p}(3-2x)^{p}(1-x)^{2q}(1+2x)^{q},$

et son maximum donne

$0=p(1-x)^{2}(1+2x)-qx^{2}(3-2x)\,;$

d’où il suit que, si l’on nomme $a$ la racine positive et moindre que l’unité de cette équation, le rapport des boules blanches aux boules noires de l’urne sera à très peu près égal à ${\frac {a}{1-a}}.$

Le maximum de $y$ n’indique d’une manière approchée la véritable valeur de $x$ qu’autant que les valeurs de $y$ voisines de ce maximum sont incomparablement plus grandes que les autres ; car il est visible que l’intégrale $\int ydx,$ prise dans un très petit intervalle de part et d’autre de ce maximum, est alors très approchante de cette même intégrale prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1\,:$ or le rapport de la première de ces intégrales à la seconde exprime la probabilité que la valeur de $x$ est comprise dans cet intervalle. Les valeurs de $y$ voisines du maximum surpasseront considérablement les autres, lorsque $y$ aura des facteurs élevés à de grandes puissances de l’ordre ${\frac {1}{\alpha }},\ \alpha$ étant un coefficient très petit et d’autant moindre que l’événement observé