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dont la racine positive et moindre que l’unité est celle qu’il faul choisir ; or on prouvera, comme ci-dessus, qu’il ne peut y en avoir qu’une de cette nature. Si l’on nomme $a$ cette racine, ${\frac {a}{1-a}}$ sera à très peu près le rapport du nombre des coups gagnés au nombre des coups perdus par le joueur $\mathrm {A} .$ On aura ensuite

${\frac {\upsilon }{p}}=a^{n-m}{\frac {a^{m}-(1-a)^{m}}{a^{n}-(1-a)^{n}}},$

et ce sera le rapport du nombre des premières parties gagnées par le joueur $\mathrm {A}$ au nombre total $p$ de ces parties.

XXII.

Voici maintenant une méthode directe et générale pour déterminer les possibilités des événements simples, quel que soit l’événement observé.

Si l’on désigne par $x$ et $1-x$ les possibilités des deux événements simples, et que l’on cherche, par les règles ordinaires de l’analyse des hasards, la probabilité de l’événement composé dont il s’agit, on aura pour son expression une fonction de $x$, multipliée par un coefficient constant quelconque ; si l’on nomme $y$ cette fonction et $a$ la valeur de $x,$ positive et moindre que l’unité qui la rend un maximum, non seulement cette valeur sera la plus probable, mais elle sera encore très approchante de la véritable possibilité $x\,:$ par exemple, si l’événement observé est la naissance de $p$ garçons et de $q$ filles sur $p+q$ enfants, en nommant $x$ la possibilité de la naissance d’un garçon et, par conséquent, $1-x$ celle de la naissance d’une fille, on aura

${\frac {1.2.3\ldots (p+q)}{1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q}}x^{p}(1-x)^{q}$

pour la probabilité de cet événement ; dans ce cas $y=x^{p}(1-x)^{q},$ et son maximum a lieu lorsque $x={\frac {p}{p+q}}\,;$ cette valeur de $x$ est donc, à très peu près, la véritable possibilité de la naissance d’un garçon, lorsque $p$ et $q$ sont de très grands nombres.