diminue ; la valeur de
que l’on tirera de cette équation jouira donc du même degré de probabilité que
or, si l’on suppose
et
très considérables, il sera extrêmement probable, par l’article XVIII, que
diffère très peu de
donc, si l’on nomme
la racine positive et moindre que l’unité de l’équation
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad 0=qx^{n}+p(1-x)^{n}-(p+q)x^{n-m}(1-x)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8fa3ef4b1711e5307ea0615356985e75b5e30f)
il sera très probable que l’adresse
est très approchante de
en sorte que, si
et
étaient infinis, il serait infiniment probable que la différence de
et de
est moindre qu’aucune grandeur donnée. Cette valeur de
a d’ailleurs l’avantage de nous faire connaître le rapport des coups gagnés aux coups perdus par le joueur
car, si l’on nomme
le nombre des premiers et
celui des seconds, l’adresse
doit être très peu différente de
en sorte que l’on a, à très peu près,
![{\displaystyle {\frac {r}{r+s}}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3390793fab64f048d01caadd931e5aa5fc7db558)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {r}{s}}={\frac {a}{1-a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d5011a44808194dd49ec26104cf516954fc171)
Supposons encore que
et
ont joué
parties avec la condition précédente, et
parties dans lesquelles
avait
jetons et
au commencement de chaque partie. Supposons ensuite que, sur ces
parties,
en ait gagné
cela posé, pour déterminer les adresses de ces joueurs, nous nommerons
celle de
et
le nombre inconnu de parties qu’il a gagnées sur les
premières : l’équation
donnera dans ce cas
![{\displaystyle 0=(p-\upsilon )x^{n}+\upsilon (1-x)^{n}-px^{n-m}(1-x)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e69e28cb270b0e284d97a02e3e21524b1bf51ae)
Le nombre des parties que ce joueur a gagnées sur les
dernières est
on aura donc encore, en vertu de l’équation ![{\displaystyle (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab32a8efc54848f4a3e94a69c74d66c0ded1c5f)
![{\displaystyle 0=(q-r+\upsilon )x^{n'}+(r-\upsilon )(1-x)^{n'}-qx^{n'-m'}(1-x)^{m'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5829a790cbf198d573d8102f82578436f16b30)
En éliminant
de ces deux équations, on aura une équation en ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)