valeurs de
depuis
jusqu’à
Soit
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots (q+2a-m).1.2.3\ldots (p+m)}{1.2.3\ldots (2a-m).1.2.3\ldots m}}=y_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6c5080480b4ab403a077e8fc22bc655e4cb0b0)
et cherchons l’intégrale finie
depuis
jusqu’à
la caractéristique
servant à désigner les intégrales finies ; on a visiblement
![{\displaystyle y_{m}={\frac {(m+1)(q+2a-m)}{(2a-m)(p+m+1)}}y_{m+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131b9bbb5e21a1f5a2f9d8cc85942b6ef4202da7)
donc
![{\displaystyle y_{m}\left[1-{\frac {(m+1)(q+2a-m)}{(2a-m)(p+m+1)}}\right]={\frac {(m+1)(q+2a-m)}{(2a-m)(p+m+1)}}\Delta y_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3486f18d7b22fa9f91a13b0ab0ef9398357ca7df)
ou
![{\displaystyle y_{m}={\frac {(m+1)(q+2a-m)}{2ap-p-m(p+q)}}\Delta y_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2be0d985cef4174fcc14b0e9a6d860eebff7a98)
la caractéristique
étant celle des différences finies. Supposons généralement
![{\displaystyle y_{m}=z_{m}\Delta y_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ddc61bac453b4cdef8b5678578cfc0a0a7f76b)
nous aurons, en intégrant,
![{\displaystyle \sum y_{m}=y_{m}z_{m-1}-\sum \left(y_{m}\Delta z_{m-1}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5284035547a6d4d22eb6bfbcec4cf79f0b62f2)
or, si l’on substitue pour
sa valeur
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \left(y_{m}\Delta z_{m-1}\right)=&\sum \left(z_{m}\Delta z_{m-1}\Delta y_{m}\right)\\=&y_{m}z_{m-1}\Delta z_{m-2}-\sum \left[y_{m}\Delta \left(z_{m-1}\Delta z_{m-2}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea56cad42df95485d6c5cff59d6e73c8980c8a4)
Pareillement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum &\left[y_{m}\Delta \left(z_{m-1}\Delta z_{m-2}\right)\right]\\&=y_{m}z_{m-1}\Delta \left(z_{m-2}\Delta z_{m-3}\right)-\sum \left\{y_{m}\Delta \left[z_{m-1}\Delta \left(z_{m-2}\Delta z_{m-3}\right)\right]\right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58178c8eb2ee9c6d7e80fe9ae72213db117a25f4)
et ainsi de suite ; on aura donc
![{\displaystyle (\gamma )\qquad \sum y_{m}=\mathrm {C} +y_{m}z_{m-1}\left\{{\begin{aligned}1&-\Delta z_{m-2}+\Delta \left(z_{m-2}\Delta z_{m-3}\right)\\&-\Delta \left[z_{m-2}\Delta \left(z_{m-3}\Delta z_{m-4}\right)\right]+\ldots \end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be21b0f7d37063da99024d0235f567c22513c4c)
étant une constante arbitraire. Cette suite est, dans les différences finies, ce qu’est la suite
de l’article XVIII, dans les différences