jusqu’à
Cette condition donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{p}(1-x)^{q}dx=&{\frac {1.2.3\ldots q}{(p+1)(p+2)\ldots (p+q+1)}}\\\int x^{p+m}(1-x)^{q+n}dx=&{\frac {1.2.3\ldots (q+n)}{(p+m+2)(p+m+3)\ldots (p+q+m+n+1)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7483bd608f29aa16de5b2ec55171d68aff466b96)
ce qui change l’expression de
dans celle-ci
![{\displaystyle (\theta )\qquad \mathrm {P} =\gamma {\frac {(q+1)(q+2)\ldots (q+n)(p+1)(p+2)\ldots (p+m)}{(p+q+2)(p+q+3)\ldots (p+q+m+n+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2133b0cabf59394ae79c524d9a56284bbea41b)
Or on a, comme l’on sait,
![{\displaystyle log(1.2.3\ldots u)={\frac {1}{2}}\log 2\pi +\left(u+{\frac {1}{2}}\right)\log u-u+{\frac {1}{12u}}-{\frac {1}{360u^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4785dc3bc0a17c7f45dd5b58e98f7aededda7b)
ce qui donne à très peu près, lorsque
est considérable,
![{\displaystyle 1.2.3\ldots u={\sqrt {2\pi }}u^{u+{\frac {1}{2}}}e^{-u},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4682087a082cbcb7fda029dd743abbb34861fed2)
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon et
le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; donc, si l’on suppose
et
de très grands nombres, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(q+1)(q+2)\ldots (q+n)=&{\frac {1.2.3\ldots (q+n)}{1.2.3\ldots q}}={\frac {(q+n)^{q+n+{\frac {1}{2}}}}{q^{q+{\frac {1}{2}}}}}e^{-n},\\(p+1)(p+2)\ldots (p+m)=&{\frac {(p+m)^{p+m+{\frac {1}{2}}}}{p^{p+{\frac {1}{2}}}}}e^{-m},\\(p+q+1)\ldots (p+q+m+n)=&{\frac {(p+q+m+n)^{p+q+m+n+{\frac {1}{2}}}}{(p+q)^{p+q+{\frac {1}{2}}}}}e^{-m-n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb44b6a21db5fe47eaecb8626886616b4a7c7978)
En substituant ces valeurs dans l’expression de
et en observant que l’on a à très peu près
![{\displaystyle {\frac {p+q+1}{p+q+m+n+1}}={\frac {p+q}{p+q+m+n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260b6e818db782ae1d785026171d336f1e9b74a7)
elle deviendra
![{\displaystyle (\varpi )\qquad \qquad \mathrm {P} =\gamma {\frac {(q+n)^{q+n+{\frac {1}{2}}}(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}(p+m)^{p+m+{\frac {1}{2}}}}{p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}(p+q+m+n)^{p+q+m+n+{\frac {3}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b56ccfbc95bdc2a0ddd065962c6dd9af9b05ae)