Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/413

en changeant un terme quelconque, tel que $\mathrm {H} \lambda l^{\mu }s^{c},$ en $\mathrm {H} \lambda (s-\mu )^{c},$ et en substituant dans $\mathrm {H} ,$ au lieu de $k,$ la partie de l’exposant $\mu$ qui est relative à $t\,;$ au lieu de $k_{1},$ la partie relative à $t_{1},$ et ainsi du reste.

Si, dans la formule (B), on suppose $\mathrm {H} =1$ et $0=i=i'=i''=\ldots ,$ on aura la somme des valeurs de l’unité, multipliées par leurs probabilités respectives : or il est visible que cette somme, n’étant autre chose que la somme de toutes les combinaisons dans lesquelles l’équation

$t+t_{1}+t_{2}+\ldots =s$

a lieu, multipliées par leurs probabilités, exprime conséquemment la possibilité de cette équation elle-même. Si, dans les hypothèses précédentes, on suppose de plus que la loi de possibilité est la même pour les $r$ premières variables $t,t_{1},\ldots ,t_{r-1},$ et que pour les $n-r$ dernières elle soit encore la même, mais autre que pour les premières, on aura

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} \ \,=&\mathrm {A} _{1}&=\ldots =&\mathrm {A} _{r-1},\\\mathrm {B} \ \,=&\mathrm {B} _{1}&=\ldots =&\mathrm {B} _{r-1},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\\mathrm {A} _{r}=&\mathrm {A} _{r+1}&=\ldots =&\mathrm {A} _{n-1},\\\mathrm {B} _{r}=&\mathrm {B} _{r+1}&=\ldots =&\mathrm {B} _{n-1},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et la formule (B) se changera dans celle-ci

(C)

$\left\{{\begin{aligned}s^{n-1}&\times (\mathrm {A} \ \,+\mathrm {B} \ \,s+2\mathrm {C} \ \,s^{2}+\ldots )^{n-r}\\&\times (\mathrm {A} _{r}+\mathrm {B} _{r}s+2\mathrm {C} _{r}s^{2}+\ldots )r\,;\end{aligned}}\right.$

cette formule servira à déterminer la probabilité que la somme des erreurs d’un nombre quelconque d’observations dont la loi de facilité est connue sera comprise dans des limites données, ce qui peut être utile dans plusieurs circonstances, et particulièrement lorsqu’il s’agit de prévoir le résultat d’un nombre quelconque d’observations. Comme ce problème est d’ailleurs le plus simple auquel on puisse appliquer la méthode précédente, il est très propre à l’éclaircir, et, dans cette vue, nous allons considérer les exemples suivants.